是否有任何不是 RE-hard 的递归可枚举问题？

Posted 2023-02-25

【中文标题】是否有任何不是 RE-hard 的递归可枚举问题？

【英文标题】：Are there any Recursively Enumerable problems that are not RE-hard?

【发布时间】：2016-09-21 00:36:03

【问题描述】：

我正在学习的可计算性课程解释了 RE - REC 中的几种语言（递归可枚举但非递归，即可通过非停止图灵机求解）。它首先显示其中一个（L_d，不接受自己编码的图灵机语言）不在 RE 中，并证明其补码在 RE-REC 中。然后证明它可以简化为通用语言（L_u，图灵机的所有二进制编码与它接受的字符串连接的集合）。然后它继续展示 L_u 如何是 RE-Hard，然后将其简化为 L_PCP（Post 的对应问题），然后将其简化为上下文无关语法歧义。 RE 中是否存在任何问题，但 RE-Hard 中没有问题？因为到目前为止，对于我们的教授在 RE - REC 中解释的每一个问题，他都证明了它们是相互可约的。

【参考方案1】：

您提到的问题（在 Peter Leupold 的澄清下，应该整合到问题中）被称为 Post 问题。答案是肯定的：特别是，所有所谓的“简单”集合都是不完全的 RE 集合。

一个简单的集合是一个RE-set，其互补是“免疫的”。免疫集是不包含任何无限 RE-set 的集合。 这足以证明一个简单的集合不可能是完全的，因为一个完整的集合的互补是生产性的，并且任何生产性的集合都包含一个无限的 RE 子集，它是由它自己的生产函数生成的。

一些简单的集合是已知的。我最喜欢的例子是一组非随机数，根据 Kolmogorov 复杂性，这是可以更紧凑地表示为生成它的程序的索引的所有数字的集合（在输入 0 上）。证明这样一个集合很简单并不难，并且可以在任何关于可计算性的优秀文本中找到。

【参考方案2】：

您的问题的答案是肯定的，因为即使是有限语言也是 RE。但它们绝不像您所说的那样难。

也许您的问题真的是“是否存在任何不是 RE-hard 但不是递归的递归可枚举问题？”这里的答案取决于你的减少概念。可能您的教授正在使用多一归约；那么答案可能是肯定的（我不完全确定）。对于较弱的还原，答案是否定的。