证明正则语言集是上下文无关语言集的真子集

Posted 2023-02-25

【中文标题】证明正则语言集是上下文无关语言集的真子集

【英文标题】：Prove that the set of regular languages is a proper subset of the set of the context-free languages

【发布时间】：2011-06-06 20:58:07

【问题描述】：

我正在复习（不是家庭作业）一些计算理论并遇到了这个问题：

你如何。

现在我知道一种语言是正规的，如果它被有限自动机接受。

而且我知道一种语言是上下文无关的，如果它被下推接受 自动机。

但我不确定是什么解决方案。

【参考方案1】：

任何 DFA 都相当于一个 PDA，它碰巧从不将任何东西压入其堆栈，因此所有常规语言也是上下文无关的。更正式地说：

DFA 被定义为一个 5 元组 (Σ,S,s0,δ,F)，由输入字母表、状态集、 开始状态、转换表和一组最终（接受）状态。

PDA 被定义为一个 7 元组，包括 DFA 的所有元素，外加两个附加参数：Γ（堆栈字母表）和 Z（初始堆栈符号）。 PDA 转换表与 DFA 转换表有些不同：每个转换可以依赖于 输入符号和当前堆栈符号，并且转换可以推入或弹出 从堆栈中。

因此，通过引入由单个符号组成的虚拟堆栈字母表，映射 DFA 转换表是微不足道的（尽管写出来有点烦人和冗长！） (state, input) -> state 到等效的 PDA 转换表 (state, input, stack) -> (state, stack)。

为了完成真子集关系的证明：存在上下文无关的语言，但不是正则的，因此正则语言形成了上下文无关语言的一个真子集。示例：由平衡括号组成的字符串语言。

【讨论】：

谢谢 - 你对这个声明有任何参考吗：任何 DFA 都相当于一个 PDA，它碰巧从不将任何东西压入堆栈，因此所有常规语言也是上下文无关的？

@David：我稍微扩展了我的答案，以展示如何构建更正式的证明。