如何计算二分查找复杂度

Posted 2023-02-23

【中文标题】如何计算二分查找复杂度

【英文标题】：how to calculate binary search complexity

【发布时间】：2012-01-01 08:58:31

【问题描述】：

我听说有人说，由于二进制搜索将搜索所需的输入减半，因此它是 log(n) 算法。由于我不是数学背景，我无法与之相关。有人可以更详细地解释一下吗？是不是跟对数级数有关系？

【问题讨论】：

这可能对你有帮助：***.com/a/13093274/550393

【参考方案1】：

⌊log₂(n) + 1⌋ 是在二分搜索中找到某物所需的最大比较次数。平均情况大约进行 log2(n) - 1 比较。这里有更多信息：

http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_search#Performance

【参考方案2】：

它没有一半的搜索时间，这不会使它成为 log(n)。它以对数方式减小它。对此稍加思考。如果您在一个表中有 128 个条目并且必须线性搜索您的值，那么平均可能需要大约 64 个条目才能找到您的值。那是 n/2 或线性时间。使用二分搜索，您可以在每次迭代中消除 1/2 的可能条目，这样最多只需进行 7 次比较即可找到您的值（128 的以 2 为底的对数为 7 或 2 的 7 次方为 128。）这是二分查找的威力。

【讨论】：

对于 necropost 很抱歉，但 128 并不是一棵均匀填充的树。我使用了一个基本示例来解决这个问题，我发现 7 个条目均匀地填充了具有 3 层的树。我计算出复杂度应该是 17/7（比较总和的平均值），即 2.43。但是 log2(7) 是 2.81。那么我在这里错过了什么？

两个答案 - 这里的第一个：即使数学没有错误，我们可以看到 2.43 的平均值仍然优于线性的 3.5 平均值，这是一个较低的值。一旦进入 100 个条目，log2() 就比线性要好得多。我想你已经看到了，所以继续下一步。

第二个答案：我不确定你有什么样的树，其中 7 已经填写了所有内容。当我想到一棵有 8 个条目的完美树时，我看到一棵 3 层深的树，总共有 8 个叶子。在这棵树中，无论您搜索哪个数字，从根到叶总共需要 3 次比较。对于 7 个条目，其中一个路径将少进行一次比较，因此 20/7（3 个比较的 6 个节点，2 个比较的 1 个节点）约为 2.85。 Log2(7) 约为 2.81。我没有数学背景来解释 .04 的差异，但我想这与没有可用的小数位或其他魔法有关 :)

数字是叶子的数量！？不是节点数？好吧，那是我遗漏的一大块信息。对我来说，这个函数基于叶子似乎很奇怪，因为每个分支节点也是一个潜在的停止点。无论如何，感谢您为我解决这个问题！

【参考方案3】：

二分搜索的工作原理是将问题反复分成两半，如下所示（细节省略）：

在 [4,1,3,8,5] 中查找 3 的示例

订购您的物品清单 [1,3,4,5,8] 看中间项（4）， 如果它是您正在寻找的东西，请停止 如果更大，看前半部分 少的话看下半场 用新列表 [1, 3] 重复第 2 步，找到 3 并停止

当您将问题划分为 2 时，这是一个 bi-nary 搜索。

搜索只需要 log2(n) 个步骤即可找到正确的值。

如果您想了解算法复杂性，我会推荐 Introduction to Algorithms。

【参考方案4】：

二分查找算法的时间复杂度属于O(log n)类。这称为big O notation。您应该解释这一点的方式是，在给定大小为 n 的输入集的情况下，函数执行时间的渐近增长不会超过 log n。

这只是正式的数学术语，以便能够证明陈述等。它有一个非常简单的解释。当 n 变得非常大时，log n 函数将超过执行该函数所需的时间。 “输入集”的大小 n 就是列表的长度。

简单地说，二分搜索在 O(log n) 中的原因是它在每次迭代中将输入集减半。在相反的情况下更容易考虑它。在 x 次迭代中，二分搜索算法最多可以检查多长的列表？答案是 2^x。从这里我们可以看到相反的是，对于长度为 n 的列表，二分搜索算法平均需要 log2 n 次迭代。

如果为什么它是 O(log n) 而不是 O(log2 n)，那是因为简单地再放一遍 - 使用大 O 符号常量不算数。

【参考方案5】：

这里有一种更数学的方式来看待它，虽然不是很复杂。 IMO 比非正式的更清晰：

问题是，你可以将 N 除以 2 多少次才能得到 1？这本质上是说，进行二分搜索（一半的元素），直到找到它。在公式中是这样的：

1 = N / 2^x

乘以 2^x：

2^x = N

现在做日志₂：

log₂(2^x)    = log₂ N x * log₂(2) = log₂ N x * 1         = log₂ N

这意味着您可以将 log N 次划分，直到所有内容都划分完毕。这意味着您必须除以 log N（“执行二进制搜索步骤”），直到找到您的元素。

【讨论】：

我刚刚计算到 t(n) = (2^2)*K。如何使其登录表单？

以图形方式解释相同的概念：***.com/a/13093274/550393

我缺少的部分是，如果您有一个包含 7 个条目的 BST，它的公式是什么？日志2（7）？我对所有可能的结果进行了蛮力计算，得出的答案不等于 log2(7)，那我做错了什么？

比二叉树解释简单多了。

很好的答案

【参考方案6】：

对于二分搜索， T(N) = T(N/2) + O(1) // 递归关系

应用大师定理计算递归关系的运行时间复杂度： T(N) = aT(N/b) + f(N)

这里，a = 1，b = 2 => log (a base b) = 1

同样，这里 f(N) = n^c log^k(n) //k = 0 & c = log (a base b)

所以，T(N) = O(N^c log^(k+1)N) = O(log(N))

来源：http://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem

【讨论】：

为什么当 a=1 和 b=2 时 log(a base b) 为 1，不应该为 0 吗？

它应该是零。这里的 c 也是零，因为它的 1=n^0。所以它的 O(n^0 log n)= O(log(n))

【参考方案7】：

这里是wikipedia 条目

如果您看一下简单的迭代方法。您只是消除了一半要搜索的元素，直到找到所需的元素。

这是我们如何得出公式的说明。

假设最初你有 N 个元素，然后你要做的是 ⌊N/2⌋ 作为第一次尝试。其中 N 是下限和上限的总和。 N 的第一个时间值将等于 (L + H)，其中 L 是第一个索引 (0)，H 是您要搜索的列表的最后一个索引。如果你很幸运，你试图找到的元素将在中间[例如。您在列表 16, 17, 18, 19, 20 中搜索 18 然后计算 ⌊(0+4)/2⌋ = 2 其中 0 是下限（L - 数组第一个元素的索引）并且 4 是上限（H - 数组最后一个元素的索引）。在上述情况下，L = 0 和 H = 4。现在 2 是您正在搜索找到的元素 18 的索引。答对了！你找到了。

如果案例是不同的数组15,16,17,18,19，但您仍在搜索 18，那么您将不走运，您将首先执行 N/2（即 ⌊(0+ 4)/2⌋ = 2 然后意识到索引 2 处的元素 17 不是您要查找的数字。现在您知道在下一次尝试迭代搜索时不必查找数组的至少一半方式。您的搜索工作量减半。因此，基本上，每次您尝试查找在之前的尝试中找不到的元素时，您不会搜索之前搜索的元素列表的一半。

所以最坏的情况是

[N]/2 + [(N/2)]/2 + [((N/2)/2)]/2..... 即： N/2¹ + N/2² + N/2³ +..... + N/2^{x .....}

直到……您完成搜索，您要查找的元素在列表末尾的位置。

这表明最坏的情况是当您达到 N/2^x 时，x 等于 2^x = N

在其他情况下 N/2^x 其中 x 满足 2^x

现在因为数学上最坏的情况是 2^x = N => log₂(2^x) = log₂(N) => x * log₂(2) = log₂(N) => x * 1 = log₂(N) => 更正式的⌊log₂(N)+1⌋

【讨论】：

究竟如何获得更正式的版本？

使用了楼层函数。详细信息在答案中提供的 wiki 链接 (en.wikipedia.org/wiki/Binary_search_algorithm) 的性能部分中。

【参考方案8】：

T(n)=T(n/2)+1

T(n/2)=T(n/4)+1+1

把The(n/2)的值放在上面，所以T(n)=T(n/4)+1+1 . . . . T(n/2^k)+1+1+1.....+1

=T(2^k/2^k)+1+1....+1 到 k

=T(1)+k

我们取了 2^k=n

K = log n

所以时间复杂度是 O(log n)

【参考方案9】：

由于我们每次将列表减半，因此我们只需要知道在继续将列表除以 2 时得到 1 的步数。在下面给定的计算中，x 表示我们划分一个列表直到我们得到一个元素的时间（在最坏情况下）。

1 = N/2x

2x = N

取log2

log2(2x) = log2(N)

x*log2(2) = log2(N)

x = log2(N)

【参考方案10】：

ok see this
for(i=0;i<n;n=n/2)

i++;

1. Suppose at i=k the loop terminate. i.e. the loop execute k times.

2. at each iteration n is divided by half.

2.a n=n/2                   .... AT I=1
2.b n=(n/2)/2=n/(2^2)
2.c n=((n/2)/2)/2=n/(2^3)....... aT I=3
2.d n=(((n/2)/2)/2)/2=n/(2^4)

So at i=k , n=1 which is obtain by dividing n  2^k times
n=2^k
1=n/2^k 
k=log(N)  //base 2

【参考方案11】：

T(N) = T(N/2) + 1

T(N) = T(N/2) + 1 = (T(N/4) + 1)+ 1

...

T(N) = T(N/N) + (1 + 1 + 1 +... + 1) = 1 + logN (base 2 log) = 1 + logN

所以二分查找的时间复杂度是O(logN)

【参考方案12】：

让我举个例子让大家容易理解。

为简单起见，我们假设数组中有 32 个元素，按排序顺序排列，我们使用二分法搜索其中的一个元素。

1 2 3 4 5 6 ... 32

假设我们正在搜索 32。 在第一次迭代之后，我们将剩下

17 18 19 20 .... 32

第二次迭代后，我们将剩下

25 26 27 28 .... 32

第三次迭代后，我们将剩下

29 30 31 32

第四次迭代后，我们将剩下

31 32

在第五次迭代中，我们将找到值 32。

所以，如果我们把它转换成一个数学方程，我们会得到

(32 X (1/2⁵)) = 1

=> n X (2^-k) = 1

=> (2^k) = n

=> k log₂2 = log₂n

=> k = log₂n

因此证明。

【参考方案13】：

假设二分搜索中的迭代在 k 次迭代后终止。 在每次迭代中，数组被除以一半。因此，假设任何迭代的数组长度为 n 在第 1 次迭代中，

Length of array = n

在第 2 次迭代中，

Length of array = n⁄2

在第 3 次迭代中，

Length of array = (n⁄2)⁄2 = n⁄22

因此，在迭代k之后，

Length of array = n⁄2k

另外，我们知道之后 k次分割后，数组的长度变为1 因此

Length of array = n⁄2k = 1
=> n = 2k

在两边应用日志功能：

=> log2 (n) = log2 (2k)
=> log2 (n) = k log2 (2)
As (loga (a) = 1)

因此，

As (loga (a) = 1)
k = log2 (n)

因此二分查找的时间复杂度为

log2 (n)

【讨论】：

应该可以将您的答案发送到最顶层。

【参考方案14】：

这是使用主定理的解决方案，带有可读的 LaTeX。

对于二分搜索递归关系中的每个递归，我们将问题转换为一个子问题，运行时间为 T(N/2)。因此：

代入主定理，我们得到：

现在，因为 是 0 而 f(n) 是 1，我们可以使用主定理的第二种情况，因为：

这意味着：