为啥 NaN^0 == 1

Posted 2023-02-14

【中文标题】为啥 NaN^0 == 1

【英文标题】：Why does NaN^0 == 1为什么 NaN^0 == 1

【发布时间】：2013-07-25 16:14:25

【问题描述】：

早期代码打高尔夫球的地方提示为什么会：

>NaN^0
[1] 1

NA^0 为 1 非常有意义，因为 NA 缺少数据，并且 任何 数字增加到 0 将给出 1，包括 -Inf 和 Inf。然而NaN 应该代表not-a-number，那么为什么会这样呢？当?NaN 的帮助页面指出：

在 R 中，基本上所有的数学函数（包括基本的 Arithmetic)，应该与 +/- Inf 和 NaN 一起正常工作 输入或输出。

基本规则应该是与Infs的调用和关系确实是 具有适当数学极限的语句。

涉及NaN 的计算将返回NaN 或NA： 这两个不能保证，可能取决于 R 平台（因为 编译器可能会重新排序计算）。

这背后是否有哲学上的原因，还是仅仅与 R 如何表示这些常数有关？

【问题讨论】：

我不知道 R 但在我机器上的 Python 中也发生了同样的错误：1**nan 返回 1.0

@hivert 至少在 R 的情况下^ 是一个不只是调用C 函数pow 的函数，它检查基数为 1 或指数为 0，如果任一为 TRUE，则在调用 pow 之前返回 1.：if((x1 = INTEGER(s1)[i1]) == 1 || (x2 = INTEGER(s2)[i2]) == 0); REAL(ans)[i] = 1.;

我不相信NA^0 == 1 有多大意义，因为Inf^0 是一个不确定的形式。也就是说，当被视为极限时，我们不能仅从这种形式确定原始极限的值是多少。例如，当 n 接近无穷大时，exp(n)^*(1/n) 接近 e，但 n^(1/n) 接近 1，即使两者看起来都像 Inf^0。

对此的评论：“任何增加到 0 的数字都会给出 1，包括 -Inf 和 Inf”：对于 -Inf 和 +Inf，值应该是 NaN，因为这些是不确定的限制。当 x 接近 0 时，想想 (1 + 1/x)^x。

【参考方案1】：

这在?'NaN'引用的帮助页面中引用

“IEC 60559 标准，也称为 ANSI/IEEE 754 浮点标准。

http://en.wikipedia.org/wiki/NaN。”

您可以在此处找到关于应该创建 NaN 的声明：

 "There are three kinds of operations that can return NaN:[5]
       Operations with a NaN as at least one operand.

它可能来自特定的 C 编译器，如您引用的注释所示。这就是 GNU C 文档所说的：

http://www.gnu.org/software/libc/manual/html_node/Infinity-and-NaN.html

“另一方面，NaN 会感染任何涉及它的计算。除非无论用什么实际值替换 NaN，计算都会产生相同的结果，否则结果就是 NaN。”

所以 GNU-C 人在编写代码时似乎有不同的标准。据报道，2008 年版的 ANSI/IEEE 754 浮点标准提出了这一建议：

http://en.wikipedia.org/wiki/NaN#Function_definition

发布的标准不是免费的。所以如果你有访问权限或有钱，你可以看这里：

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=4610933

【讨论】：

我从帮助页面添加了注释。 （我当然不打算涵盖“所有可能的编译器”。）我会说 GNU-C 编译器的当前行为不同意“注意”。

@BlueRaja-DannyPflughoeft 等效的 C 函数是 pow。 R 中的内置求幂函数^ 通过对传递给它的参数进行一些检查来调用pow。 NaN^0 在 R 中等同于 `^`(NaN,0)。请参阅我在 OP 下面的评论，了解调用 before pow 执行的 R 源代码（用 C 编写）。我认为 DWin 对 R 非常熟悉。

@BlueRaja-DannyPflughoeft：我开始使用“NaN”的帮助页面搜索权威描述。它把我引向了 IEEE 标准。 R 是用 C 编写的，因此在实践中，像这样的边缘情况似乎有可能由 GNU-C 编译器中带有“^”的 NaN 的“通常”行为来确定。答案有多种形式，通常是历史性的，就像这里的情况一样。

它还说“在 R 中，基本上所有的数学函数（包括基本的‘算术’）都应该在‘+/- Inf’和‘NaN’作为输入或输出时正常工作。”所以我认为这是 R 中的一个错误 - 特别是 `NA ^ 0 == 1" 绝对是错误的。

@SimonO101 我不明白为什么元素的类是相关的：NA_real_ ^ 0 是 1，显然违反了通常的缺失值传播规则：NA_real_ * 0，是 NA，而不是 0 .

【参考方案2】：

答案可以用“历史原因”来概括。

似乎 IEEE 754 引入了两个 different power functions - pow 和 powr，后者在 OP 情况下保留了 NaN，并且还为 Inf^0、0^0 返回了 NaN， 1^Inf，但最终后者被删除为explained briefly here。

从概念上讲，我在 NaN 保留阵营，因为我是从限制的角度来解决这个问题的，但从方便的角度来看，我希望当前的约定更容易处理，即使它们不在某些情况下没有多大意义（例如，sqrt(-1)^0 等于 1 而所有操作都是实数，如果有的话，意义不大）。

【讨论】：

那个链接读起来很有趣。我本来希望 R 的 min 和 max 忽略 NaN，但 NaN^1 是 NaN。你不能总是得到你想要的。

我相信 IEEE754-2008 标准的最终版本实际上同时具有 pow 和 powr，以及用于将任意浮点数提高到整数幂的 pown。 pow(qNaN, 0)和pown(qNaN, 0)定义为1； powr(qNaN, 0) 表示无效操作异常，因此在默认的 FP 异常处理下返回 qNaN。

关于 IEEE 754 历史的非常有趣的读物。NaN 保留还有另一个优势（对于最小值/最大值或其他任何东西）：NaN 可能出现在之前的计算中，在其他情况下会给出一个可用的 double 值，它可以被比较/使用/... NaN 然后被视为一个异常值，并且仅仅是一个错误（由于某种原因，作为溢出，计算变坏了）。保留 NaN 至少可以最终看到某处存在错误，并且不会默默地给出不正确的答案。发送信号 NaN 也是一种在错误发生时捕获错误的方法。

“NaN 保留”概念实际上与“NA 保留”相同。所以在数值计算中，NA 和 NaN 总是（？，你能找到一个例外吗？）同等/类似地对待。更多在下面的单独“回复”中。回复sqrt(-1)^0：这正是一个很好的例子，为什么NaN^0应该给出1：sqrt(-1 + 0i)^0确实给出1（+0i）：sqrt(-1+0i)^0 == 1确实是TRUE

@MartinMächler 你没有抓住重点。假设我定义了我自己的函数，该函数仅在集合 [0,Inf) 上定义，并且未在其他情况下定义：f = function(x) if (x >= 0) x else NaN。 f(-1)^0 绝不会等于 1，但 R 会告诉你它是。

【参考方案3】：

是的，我来晚了，但作为参与此设计的 R Core 成员，让我回忆一下我上面的评论。 NaN 保留和 NA 保留在 R 中“等效”工作，因此如果您同意 NA^0 应该给出 1，则 NaN^0 |-> 1 是结果。

确实（正如其他人所说）您应该真正阅读 R 的帮助页面，而不是 C 或 IEEE 标准，回答这些问题， 和 SimonO101 正确引用了

1 ^ y 和 y ^ 0 始终为 1

而且我很确定我参与其中（如果不是作者的话）。 请注意，能够提供非 NaN 答案是好，也不错，在其他编程语言做不同的情况下也是如此。 这种规则的结果是更多的事情自动正确地工作。 在另一种情况下，R 程序员会被敦促自己做更多特殊的套管。

或者换一种说法，上面的简单规则（在所有情况下都返回非 NaN）是一个很好的规则，因为它在数学意义上传播了连续性：lim_x f(x) = f(lim x)。 我们有一些情况，显然是有利的（即不需要特殊的大小写，我重复一遍..）遵守上述“= 1”规则，而不是传播 NaN。正如我进一步说的，sqrt(-1)^0 也是这样一个例子，因为 1 是 只要你扩展到复平面就是正确的结果。

【讨论】：

大声笑，如果有人认为 NaN^0 不应该给出 1，为什么有人会同意 NA^0 应该给出 1？ NA 是 NaN 的超集。你弄错了 if-else 方向。

好吧，OP 确实是这么说的！

:) 很公平 - 两个你们应该更清楚

以及为什么我的总结性评论来自一个知道“为什么”这个问题的答案的人。因为我已经共同实现了它，所以被否决投票。 ..天堂仁慈！

-1 来自我，主要是因为你说这个选择是“好的”，没有任何论据来支持它

【参考方案4】：

这是一个原因。来自Goldberg：

在 IEEE 754 中，NaN 通常表示为浮点数 指数 e_max + 1 和非零有效数。

所以NaN 是一个浮点数，尽管有特殊含义。将一个数的零次幂设置为零，因此它将不再是 NaN。

另请注意：

> 1^NaN
[1] 1

一是指数已经为零的数字。

【讨论】：

那么，您的说法是他们希望避免处理特殊情况？但是，浮点计算已经不得不处理由NaN（以及+/- Inf、+/- 0和非规范化数字）引起的一些特殊情况，所以...

如果碰巧 NaN 被表示为例如2，根据您的逻辑，1+NaN 将等于 3。您无法根据您选择的表示方式对某些结果应该是得出什么结论。

【参考方案5】：

从概念上讲，NaN^0 == 1 的唯一问题是零值至少有四种不同的方式，但 IEEE 格式对其中三种使用相同的表示。上面的公式相等适用于最常见的情况（这是三种情况之一），但不适用于其他情况。

顺便说一句，我认识的四种情况是：

文字零 无符号零：无法区分的两个数字之间的差异 正无穷小：两个匹配符号的乘积或商，太小而无法与零区分开来。 负无穷小：符号相反的两个数的乘积或商，太小而无法与零区分开来。

其中一些可以通过其他方式产生（例如，文字零可以作为两个文字零的总和产生；正无穷小通过一个非常小的数除以一个非常大的数等）。

如果浮点数识别出上述情况，它可以有效地将 NaN 提升到字面上的零作为产生 1，并将其提升到任何其他类型的零作为产生 NaN；这样的规则将允许在许多情况下假设一个常量结果，其中可能是 NaN 的东西将被提升为编译器可以识别为常量零的东西，而这种假设不会改变程序语义。否则，我认为问题在于，如果x 是NaN，大多数代码不会关心x^0 是否会NaN，并且让编译器为条件代码添加代码没有多大意义。 t去关心。请注意，问题不仅在于计算 x^0 的代码，还在于任何基于 x^0 不变的计算。

【讨论】：

NaN 通常用于例如表明结果不在真实域中，例如sqrt(-1)。在您的自定义函数中，它可能比复数更具异国情调，甚至不一定要为其定义 ^ 运算符，在这种情况下，如果您是零，则与“种类”无关看着。

@eddi：如果x^literalZero的语义定义为“忽略x并返回1”，那么sqrt(-1)^0的正确结果应该是1。可能有人会质疑这是不是最定义幂运算符的理想方法，但我认为语言应避免定义处理需要额外代码的极端情况。顺便说一句，您使用的语言是否区分右手运算符是整数和浮点数的情况？在某些语言中，(-2.0)^2 为 4.0，但 (-2.0)^(2.0) 无效。如果零是整数...

...那么我不认为 IEEE-754 NaN 处理是相关的（因为它没有提到整数取幂），我不赞成要求一种语言将零大小写编码为if (exponent==0) return (isNan(base) ? NaN : 1.0); 而不是简单的 if (exponent==0) return 1;。

取一个函数f = function(x) if (x > 0) x else "boo"。然后f(-1)^0 会正确地给你一个错误。现在想象有人想在纯实数域中表示这个函数。他们这样做的方式是：f_real = function(x) if (x > 0) x else NaN。当他们尝试做f_real(-1)^0时，他们会继续给出错误的答案。

@eddi：你的意思是 f_real(-1)^0 还是 f_real^0.0？我会假设在数学上，f(x)^N 可以定义为 1 当 N=0 时，(f(x)^(N-1))*f(x) 当 N > 0 时，和 (f(x )^(N+1)) 当 N 只要人们只关心实际使用结果时会发生什么。请注意，我的分歧仅适用于指数为“整数”零的情况。顺便说一句，我对 IEEE 的看法是错误的，而不是......

【参考方案6】：

如果你看NaN的类型，它仍然是一个数字，它只是不是一个特定的数字，可以用数字类型来表示。

编辑：

例如，如果您要取 0/0。结果是什么？如果你试图在纸上解这个方程，你会卡在第一个数字上，有多少个零适合另一个 0？你可以放 0，你可以放 1，你可以放 8，它们都适合 0*x=0 但不可能知道哪个是正确答案。然而，这并不意味着答案不再是一个数字，它只是一个无法表示的数字。

无论如何，任何数字，即使是你无法表示的数字，0 次方仍然是 1。如果你分解一些数学 x^8 * x^0 可以进一步简化为 x^(8+0) 等于 x^8 ，x^0 去哪儿了？如果x^0 = 1 是有道理的，因为等式x^8 * 1 解释了为什么x^0 会从存在中消失。

【讨论】：

那么你基本上是在说“不是数字就是数字”吗？

@H2CO3 我知道你知道。只是有一点天真的乐趣。

这个答案（尤其是编辑）完全是一派胡言，与数学无关

@eddi 我真的希望有人会写一个回答说“因为 R 遵循 X 标准，这就是标准所说的”，所以我们都可以投票并完成。

@joran：嗯，我不确定 R 对遵循任何标准有何​​保证，但该领域的压倒性主导标准是 IEEE 754，它说（在第 9.2.1 节中）： “对于任何 x（即使是零、安静的 NaN 或无穷大），pow (x, ±0) 都是 1”。从标准的措辞来看，我并不是 100% 清楚这是建议还是要求。