Java：找到凸多边形的最外层顶点

Posted 2023-02-14

【中文标题】Java：找到凸多边形的最外层顶点

【英文标题】：Java: Finding the Outermost Vertices of a Convex Polygon

【发布时间】：2012-04-15 15:14:20

【问题描述】：

原帖：

我试图找到一个凸多边形的最外层顶点（与多边形外的一个点 P 相关）。目前，我只关心矩形（不过，我想要一种适用于任何凸多边形的算法）。

我的计划是构建一条从外部点P到中心点C的线。根据这个参考线，我将构建从点 P 到点 1、2、 的线3 和 4。由于点 2 和 4 与 参考线 之间的夹角最大（最正）和最小（最负），它们将是标识为最外层的顶点。

这是最适合这项工作的算法吗？如何从参考角度计算角度（最好在 Java 中）？

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更新说明：

我已经画了线（参考线为红色）。如您所见，从 P 到 2 的线在 参考线 的一侧创建最大角度，而从 P 到 4 创建另一侧的最大角度。因此，这些是最外层的顶点。

【问题讨论】：

嗯，两点 A 和 B 之间的角度应该是 atan2(b.y,b.x) - atan2(a.y,a.x)

但简单地取最大和第二大角度可能无法解决所有情况的问题......我认为。

为什么不只考虑从 P 到 C 画线的最远点？

我想这也可以。

“我正在尝试找到凸多边形的最外层顶点（相对于多边形外部的点 P）。” - 我不明白。你能指点参考吗？

【参考方案1】：

三角函数的使用非常缓慢。您应该使用另一个角度比较。

对于两个平面向量之间的夹角：

cos(OA, OB) = (OA_x * OB_x + OA_y* OB_y ) / sqrt((OA_x² + OA_y²)* (OB_{x sub>² + OBy²))}

我认为，您可以比较具有余弦的角度。

【参考方案2】：

这几乎是convex hull 的问题。您将在多边形周围寻找一组顶点 (x₁, x₂)。将应用的方法称为“快速船体”，类似于快速排序（每次我们通过时我们都会划分我们的点区域）。 P 可以用作任意起点与其平行终点之间的中点也是一个安全的假设，因此您将在 P 周围得到一个凸包.

生成一些可靠的 Java 需要一段时间（根据我的偶然性），但我认为 Wikipedia 条目将为您提供一个很好的起点。

【讨论】：

对不起...我不认为这与凸包问题非常相似。形状的边界是已知的，我没有使用任何 Minkowski 和。此外，P 是计算的起点。我正在寻找与外部点P 相关的最外层顶点。因此，操作是迭代的，不需要逐步除法。

点 1,2,3,4 的凸包是已知的。点 P,1,2,3,4 的凸包是未知的。我认为最外面的点是 P,1,2,3,4 的凸包中与 P 相邻的两个点。注意 1 不是 P,1,2,3,4 的凸包的一部分。

啊。我现在知道了。那么凸包算法是解决这个问题的最快方法吗？

@Peter：这将是一个非常快速的解决方法，是的； Quick-hull 平均可以达到 O(N*lg(N)) 的性能，最坏的情况是 O(n^2)（不太可能）。

【参考方案3】：

我解决的问题如下：

            // code simplified for demonstration
            double angleBetweenVertices;
            double maxAngleBetweenVertices;
            vectorA.setStartingPoint(outerPoint);
            vectorA.setTerminationPoint(polygonCenter);
            vectorB.setStartingPoint(outerPount);

            // For each vertex, calculate the angle between the outer point, the polygon's center and the vertex
            for (Point2D.Double vertex : vertices)     
                vectorB.setTerminationPoint(vertex);
                double angleBetweenVertices = 
                    Math.toDegrees(
                        Math.atan2(
                            (vectorA.perpDotProduct(vectorB)),
                            (vectorA.dotProduct(vectorB)) 
                        )
                    );

                // Update the min and Max
                if (angleBetweenVertices >= maxAngleBetweenVertices) 
                    maxVertex = vertex;
                    maxAngleBetweenVertices = angleBetweenVertices;
                 else if (angleBetweenVertices <= minAngleBetweenVertices) 
                    minVertex = vertex;
                    minAngleBetweenVertices = angleBetweenVertices;