总数在改组像素位置后可能的新图像中，所有这些可能的新图像的平均欧几里得距离是多少？

Posted 2023-02-23

【中文标题】总数在改组像素位置后可能的新图像中，所有这些可能的新图像的平均欧几里得距离是多少？

【英文标题】：Total no. of possible new images after shuffling the pixel location , what will be the average Euclidean dist across all these possible new images?

【发布时间】：2021-06-19 03:01:41

【问题描述】：

考虑一个 1000x1000 的图像 I，其中左半部分（前 500 列）的所有像素都是白色的，而右半部分（最后 500 列）的所有像素都是黑色的。通过改组像素位置，由 I 形成相同大小的新图像 (Inew)。令 D 表示 I 和 Inew 之间的欧几里得距离。可能的 Inew 图像总数是多少？所有这些可能的 Inew 图像的 D 平均值是多少？

【参考方案1】：

这里给定图像的尺寸为 2000x2000 ，因此总像素数为 4M（这里大写 M 表示百万）。因此，如果我们认为图像在 4M 尺寸的潜在空间中，它在这里是单个向量。现在这些 2M 的值为 0（因为有黑色，假设黑色的值为 0），其余 2M 的值为 1（它们是白色的，因此用 1 表示）。在我们的例子中，图像“I”是一个标准图像，左半部分（前 1000 列）是白色的，右半部分（最后 1000 列）是黑色的。现在，如果我想改组（我们假设只有那些不同颜色的像素可以在那里互换的地方，即没有机会互换两个白色像素）那 4M 像素的位置，那么我将得到（应用理论概念组合）[4M！]/[2M！ x 2M!] 没有名为“Inew”的不同图像。所以 'Inew' 是 4M 维空间中的一组唯一向量。所以可能的 I_new 图像总数为 4M！]/[2M！ x 2M！]

现在我被要求计算这些“Inew”向量与“I”向量的平均距离。

所以，可以很容易地说，在'Inew'中会有2个特殊的图像向量，其中一个与'I'相同（我们称之为'I_prime'，即使它是我们也不会排除它与“I”完全相同），因此具有最小欧几里德距离（从元素角度来看，向量与“I”相同，此处欧几里德距离为零），另一个正好相反（这里相反的意思是代替 1 会有为 0 并且在每个维度中将有 1) 值与具有最小欧几里得距离（在本例中为 4M）到“I”的向量的值。而其他 ( [4M!]/[2M! x 2M!] - 2 ) 向量的距离介于这两个距离之间。

现在，我们将发现有多少种可能的组合有距离，D=(2)^(1/2)（即，有 2 个像素互换它们的值），这可以发生在 [(2M)C (1)] 多种方式（这里 (n)C(2) 表示从 n 个不同对象中选择 2 个不同对象的方式）。同样具有距离，D=(4)^(1/2) 可以以 [(2M)C(2)] 多种方式发生，依此类推，直到我们找到集合 'Inew 的图像的像素的可能组合数' 有距离，D=(4M-2)^(1/2)，这可以通过 [(2M)C(2M-1)] 方式完成。

之后我们可以计算总距离并除以向量总数，我们将得到平均欧几里得距离。

这里我们将举一个 2x2 图像的简单示例： 这里， I=[1,0,1,0] ，一个 4 维向量。 I_new= [1,0,1,0],[1,1,0,0],[0,0,1,1],[0,1,0,1],[0,1,1, 0],[1,0,0,1] 总欧几里得距离 = ( d1 +d2 +d3 +d4 +d5 + d6 ) = (0+1.414+1.414+2+1.414+1.414) = 7.656 可以计算为 sum([0,1.414,2]*[1,4,1]) * 用于逐点乘法，这就是我们需要的算法 .:.平均距离= 7.656/6= 1.276 个单位

这里给出了问题的python代码，并进行了概括。

import numpy as np
import math

# we are using here images with same height and width. So, here image_dimension = n if image is of nxn dims.
# Total_vectors is a list of no of vectors having same Euclidean distances from 'I' vector.
# Total_distances is another list containing the total distance for group of vectors having same distance (accordance with the list 'Distances')
#      so, the length of these two lists are same.
def get_average_distance(image_dimension):
    no_of_pixels=int(image_dimension*image_dimension)
    m=np.int((no_of_pixels/2) + 1)
    Total_distances=[]
    Total_vectors=[]
    for i in range(m):
        vect=(math.comb(np.int(no_of_pixels/2),i))**2
        dist=round(np.sqrt(2*i), 1)
        app=round(vect * dist ,3)
        Total_distances.append(app)
        Total_vectors.append(vect)
    return round(sum(Total_distances)/sum(Total_vectors),3)

Here a clear explanation with calculation is shown with example of an image of dimension. https://github.com/mahendranandi/Nothing/blob/main/Question_2/Question_2_SUM_PROJ.ipynb

由于计算太长，我们应该寻找一些其他的方法来优化它。

?如果有什么不对的地方请告诉我。随时欢迎提出建议。

谢谢你?

【讨论】：

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