非常大矩阵的行列式值

Posted 2023-02-22

【中文标题】非常大矩阵的行列式值

【英文标题】：Determinant Value For Very Large Matrix

【发布时间】：2013-12-11 05:17:29

【问题描述】：

我有一个大约 100000 阶的非常大的方阵，我想知道该矩阵的行列式值是否为零。

知道这一点的最快方法是什么？

我必须在 C++ 中实现它

【问题讨论】：

给自己找一个好的 BLAS 实现，然后调用它给你的函数。

大约 80GB 来存储该矩阵，您可能需要重新考虑您的方法。

最好使用现有的数学库来完成此类任务，因为它已经过测试。所以不要为它实现你自己的威慑功能！此外，计算这么大的矩阵的行列式是非常困难的问题。你确定，你真的需要它吗？

@Ilya 好吧，OP 不需要计算它。他想知道它是否为零。这是完全不同的问题。计算它是一种解决方案。很可能不是最好的。

无论如何，使用现有的库是非常好的建议。

【参考方案1】：

假设您正在尝试确定矩阵是否为非奇异矩阵，您可能需要查看此处：

https://math.stackexchange.com/questions/595/what-is-the-most-efficient-way-to-determine-if-a-matrix-is-invertible

正如 cmets 中提到的，最好使用某种 BLAS 库来为您执行此操作，例如 Boost::uBLAS。

【参考方案2】：

通常，这种大小的矩阵非常稀疏。使用行和列重新排序算法将条目集中在对角线附近，然后使用 QR 分解或 LU 分解。第二个因素的对角线项的乘积 - 直到 QR 情况下的一个符号 - 行列式。这可能仍然过于病态，通过执行奇异值分解获得排名的最佳结果。但是，SVD 更昂贵。

【参考方案3】：

有一个性质，如果任何两行相等或一行是另一行的常数倍，我们可以说该矩阵的行列式为零。它也适用于列。

【讨论】：

这只是一个声明，实际上并不能回答原始发布者的问题。我建议您阅读 how to answer 并重新制定您的答案。

@r3mus 谢谢你，如果你实现了上面的语句难度小于 o(n!) 如这个链接中提到的 [math.stack] (math.stackexchange.com/questions/595/…)

【参考方案4】：

据我所知，您的应用程序不需要计算行列式，但矩阵的秩足以检查方程组是否具有非平凡解：-

Rank of Matrix