树中路径上的范围查询

Posted 2023-02-22

【中文标题】树中路径上的范围查询

【英文标题】：Range Queries on a path in a tree

【发布时间】：2017-10-24 16:38:48

【问题描述】：

我在比赛中遇到了这个问题（现在已经结束），我想不出一个省时的算法。

给你一个有 N (

Add x y – 将 y 添加到节点 x 。

AddUp x y – 将 y 添加到 x 、 x 的父级、 x 的父级的父级直到 Root。

之后会有 Q 个查询 (

我做了什么：-

首先我尝试了根据操作更新每个节点的朴素算法，但显然这很耗时。

我也想过使用分段树和延迟传播，但想不出合适的方法。

感谢任何帮助，谢谢！

【问题讨论】：

你能给我这个问题的链接吗？

【参考方案1】：

首先，构建一个图，其中孩子指向他们的父母。 之后，解析所有更新并将 Add 和 AddUp 的总和分别存储在树的每个节点中。 您的节点应具有以下变量：

sum_add : the sum of all the Add of this node
sum_add_up : the sum of all the AddUp of this node
subtree_sum : the sum of the subtree. Initialize with 0 by now.

现在，使用拓扑顺序横穿你的图，也就是说，如果一个节点的所有子节点都已被处理，你只会处理一个节点，这需要 O(N)。现在让我定义流程函数。

process(V) 
    V.sum_add_up = V.sum_add_up + sum(sum_add_up of all V.children)
    V.subtree_sum = V.sum_add + V.sum_add_up + sum(subtree_sum of all V.children)

现在您可以回答 O(1) 中的所有查询。节点V的值查询为V.sum_add + V.sum_add_up，V的子树查询为V.subtree_sum。

【讨论】：

如果您希望它更正式，或者您是否需要我证明它的时间复杂度，请告诉我。

您好 Gabriel，我将通过您的解决方案并尝试理解它。非常感谢您的帮助！！

【参考方案2】：

这是一棵 Fenwick 树，要解决此类问题，您必须对树执行拓扑排序并计算每个节点的子节点数。

      0
    /   \
   1     2
  / \
 3   4

索引：[0 1,2,3,4] 孩子们：[4,2,0,0,0] 使用拓扑你将获得这个向量 0 1 3 4 2 你需要反转它：

fenwick Pos:  [0,1,2,3,4]
vector values:[2,4,3,1,0]
pos: [5,3,0,2,1]

使用fenwick tree可以执行2种查询，更新查询，范围求和查询 当你只需要更新一个索引调用update(pos[index], y)，那么你必须减少所有的下一个值，update(pos[index]+1, -y) 当您需要更新所有家长时，请致电update(pos[index], y) 和update(pos[index] + childrens[index] + 1, -y);

要知道某个位置的值，您需要在 pos[index] 上调用范围求和查询

【参考方案3】：

我认为这个问题只是二叉搜索树的直接应用，对于插入和查询，它的平均情况成本（在 n 次随机操作之后）O(1.39log(n))。

您所要做的就是递归地添加新节点并同时更新值和求和。

实现也相当简单（对不起 C#），例如 Add()（AddUp() 类似 - 每次转到左子树或右子树时增加值）：

public void Add(int key, int value)

    Root = Add(Root, key, value);


private Node Add(Node node, int key, int value)

    if (node == null)
    
        node = new Node(key, value, value);
    

    if (key < node.Key)
    
        node.Left = Add(node.Left, key, value);
    
    else if (key > node.Key)
    
        node.Right = Add(node.Right, key, value);
    
    else
    
        node.Value = value;
    

    node.Sum = Sum(node.Left) + Sum(node.Right) + node.Value;

    return node;

对于我机器上的 100000 个数字，这将转换为这些数字：

Added(up) 100000 values in: 213 ms, 831985 ticks
Got 100000 values in:       86 ms, 337072 ticks

对于 100 万个数字：

Added(up) 1000000 values in: 3127 ms, 12211606 ticks
Got 1000000 values in:       1244 ms, 4857733 ticks

这段时间是否足够有效？你可以试试完整代码here。