支持删除的不相交集数据结构

Posted 2023-02-22

【中文标题】支持删除的不相交集数据结构

【英文标题】：Disjoint set data structure supporting deletion

【发布时间】：2012-10-02 11:47:27

【问题描述】：

假设我们有一组 n 个不相交的节点 node₁,node₁,...,node_n

以下3种操作最快的数据结构和算法是什么：

Union(x,y)：在node_x和node_y之间添加一条无向边，两个节点之间最多可以有一条边.

IsConnected(x,y)：如果 node_x 和 node_y 直接或间接连接，则返回 true，即 node_x 和 node_y 在同一个连通分量中。

Un-union(x,y)：如果节点_x和节点_y之间的边存在，则删除它。

不相交集对于前两个操作是一个完美的数据结构，但它不能直接支持第三个操作。有什么选择？

如果我们模拟这个过程，第一个和第三个操作可以在O(1)中实现，但第二个操作是O(n)，所以我想看看是否有可能让所有三个操作都在O( logn) 时间或更短。

【参考方案1】：

Link/cut tree 可以在 O(log N) 时间内执行这 3 个操作。

您可以在本书中阅读有关链接/切割树和相关数据结构的信息："Handbook of Data Structures and Applications"（第 35 章）。

链接/切割树不允许在已经（间接）连接的节点之间添加边。如果您需要“Union(x,y)”操作来支持这一点，问题会变得更加复杂，您可以将其解决为无向图中的动态连通性问题。 （参见同一本书中的第 36.4 章或this pdf）。在这种情况下，插入/删除复杂度增加到 O(log² N)。

【讨论】：

很好的参考！这个数据结构其实我听说过一次，但是我很难理解，我看看这次能不能搞定。

【参考方案2】：

Kaplan, Shafrir and Tarjan 提出了一种通用技术，通过增量重建向联合查找数据结构添加删除，并显示删除需要 O(t_f(n) + t_i(n)) 分别是查找和插入节点的成本.总体思路是保持每个集合中已删除项目的数量，并在该数量达到一定阈值时重建集合。

Alstrup ,Gørtz , Rauhe, Thorup and Zwick 展示了如何通过注意树中的哪些元素占用以及哪些空置和“整理”来在恒定时间内实现删除 删除操作后的树。