如何降低这个问题的时间复杂度

Posted 2023-02-22

【中文标题】如何降低这个问题的时间复杂度

【英文标题】：How to reduce time complexity in this problem

【发布时间】：2019-04-27 10:51:20

【问题描述】：

我最近在一次采访中被问到这个问题，我想知道如何回答这个问题。

你有一个任意随机顺序二进制数字的二维矩阵0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 1 1 1 1 01 0 0 0 1 1 1 11 0 1 1 0 1 1 01 1 0 0 0 0 1 1@987654326 @

并且你需要找到这种模式的出现111

所以，看上面的矩阵很明显答案是6。 我就这样解决了

unsigned int Findpairs(const std::vector<std::vector<unsigned int>>& A) 
    unsigned int count = 0;

    for (unsigned int i = 0; i < (A.size()-1); i++) 
        for (unsigned int j = 0; j < (A[i].size()-1); j++)
            if(A[i][j]==1 && A[i+1][j]==1 && A[i+1][j+1]==1)
                count++;
            
        
    

    return (count);

下一个问题是获得更好的时间复杂度。 我无法回答确切的解决方案。

有人可以帮我解决这个问题吗？我只是出于自己的好奇心而想知道这一点。

【问题讨论】：

首先，问自己两个问题。一、yo9ur算法的时间复杂度是多少？其次，是什么驱动了它？如果你不能回答这些问题，你就无法知道是否可以改进时间复杂度，更不用说如何改进了。

对于这个解决方案，我的 T 复杂度为 O(n^2) 2 个 for 循环将始终执行。我仍然找不到更好的解决方案。有没有

我认为面试官的意图是看你的思考过程。这个问题与在给定字符串（长度 n）中寻找子字符串（长度 m）非常相似，其朴素算法的复杂度为 O(n*m)。在这种情况下，搜索空间是二维的，复杂度是 O(n^2 * m) 其中m 是要搜索的模式的长度（在您的情况下为 3）。或许，面试官希望你按照与 KMP 算法（以及类似的 O(n) 子字符串搜索算法）类似的思路在 2 维中思考。

【参考方案1】：

这是一个依赖于输入模式的小优化。

unsigned int Findpairs(const std::vector<std::vector<unsigned int>>& A) 
    unsigned int count = 0;

    for (unsigned int i = 0; i < (A.size() - 1); i++) 
        for (unsigned int j = 0; j < (A[i].size() - 1); j++) 
            if (A[i + 1][j + 1] == 1) 
                if (A[i + 1][j] == 1 && A[i][j] == 1) 
                    count++;
                
            
            else 
                j++; //skip a column because our bottom right saw 0
            
        
    

    return (count);

【讨论】：

好主意，额外的轻微改进可能是矩阵条目的 'unit8_t' 并检查 '!= 0' 而不是 '== 1'

嘿，这是个好主意，我想知道它是否不同于先检查A[i][j] == 1，然后检查A[i + 1][j] == 1 && A[i + 1][j + 1] == 1。我觉得不行！！！

【参考方案2】：

操作的时间复杂度可以描述为 O(n)，其中 n 是数组中的点数。您的操作相当于在未排序的数组中搜索某些内容。有一些方法可以让你的算法更高效，但你不能在少于线性时间 O(n) 内执行这种类型的搜索。

对于某些问题，您可以通过先排序或收集有关该问题的附加信息来提高时间复杂度。在这个问题的情况下，您可以证明您的解决方案与数组的大小线性相关。使用随机数组，这 3 个元素中的每一个都有 50% 的机会出现。对于每个 n，模式发生的几率是 0.5^3 = 1/8。这意味着您将计算大约 1/8*n 次出现的模式。 仅计算模式需要 O(n) 时间。

如果您的目标是估计随机数组中出现的次数，您可以在 O(1) 时间内给出估计值。这种模式应该在随机数组中出现大约 1/8*(j-1)*(i-1) 次。

【参考方案3】：

至于具体问题，你的解决方案是合适的。

如果您想在同一个矩阵中找到其他模式，或者在非常大的矩阵和更大的模式的情况下，有 2 种替代方法会很有用：

https://en.wikipedia.org/wiki/Summed-area_table

https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform

两者都需要对原始矩阵进行一些预处理，但会为模式模板提供更快的检查。您可以在 OpenCV 图像处理库中找到两者的实现。