这个for循环的时间复杂度是多少（与`n`有关）？

Posted 2023-02-22

【中文标题】这个for循环的时间复杂度是多少（与`n`有关）？

【英文标题】：What is the time complexity of this for loop (be related to `n`)?

【发布时间】：2018-11-06 13:07:19

【问题描述】：

这个for循环的时间复杂度是多少（与n有关）？

for(int i = 1, j; i <= n; i = j + 1)

        j = n / (n / i);

请注意i、j 和n 是整数变量，它们遵循整数运算。特别是循环内的表达式n/(n/i)应该解释如下：

【问题讨论】：

你认为它是什么？您是否尝试过使用不同的n 对其进行测量？

@user463035818 j 在 for 循环的 init decl 中声明。

n / (n / i) = n * (i / n) = i.

@Jabberwocky 是正确的。 j 除了在增量 stmt 中之外不被使用，并且最初在第一次主体迭代时设置。我也双重接受了。

@AlgirdasPreidžius 那些括号是有原因的。当您涉及整数除法时，该表达式不是您认为的那样。

【参考方案1】：

如果我们使用j = i;而不是j = n / (n / i);，时间复杂度是O(n)。 现在是j = n / (n / i);，假设 n = i*k+r，其中 k 和 r 都是整数并且 r = n%i。因此 j = (i*k+r)/((i*k+r)/i) = (i*k+r)/k = i+r/k >= i，这意味着 i 将比使用j = i; 的情况。所以至少时间复杂度小于 O(n)，我想这会给你另一个 O(n)。

除了大 O 符号之外，还有另外两个符号（Θ 和 Ω），表示 O(n) 的下限和上限。您可以通过找到这两个界限来获得时间复杂度。还有一个规则，如果我没记错的话，O(k*n) = O(n)，系数k不管多大都无所谓。

【讨论】：

@Walter O(n) 表示算法将少于c*n 步骤，因此它与您的O(sqrt(n)) 不矛盾（确实更严格）。

【参考方案2】：

作为elaborated by taotsi，每次迭代中i的增量为

inc = 1 + r/k

r=n%i 和 k=n/i。由于r<i，增量为1，只要i<sqrt(n)（因为在整数除法中i*i/n<1 变为0）。此后，增量（通常）为2 与i<2*sqrt(n) 一样长。这继续类似于几何级数，在sqrt(n) 上给出一个因子 2，即2 sqrt(n) 迭代。

如果我们用整数0 <= b <= 2*a（即a=int(sqrt(n))和b=n-a*a）编写n = a*a+b，那么简单实验中的总迭代次数总是

b < a?  2*a-1 : 2*a

因此，复杂度为 O(√n)（前提是在循环内完成了一些有用的工作，例如计算总迭代次数，这样编译器就不能省略整个循环）。

【参考方案3】：

由于@Walter 已经提供了证明，我已经为时已晚，但这里是您的代码的 Python3 版本以及作为n 与2*sqrt(n) 函数的函数的迭代次数图.它们看起来大致相同（最多 n = 1e9）。

import matplotlib.pyplot as plt
from numba import jit
import math

@jit
def weird_increment_loop(n):
    i = 1
    j = 0
    iterations = 0
    while i <= n:
        j = n // (n // i)
        i = j + 1
        iterations = iterations + 1

    return iterations

iterations = []
func_2sqrt = []
domain = range(0,1000000001,1000000)
for n in domain:
    iterations.append(weird_increment_loop(n))
    func_2sqrt.append(math.sqrt(n)*2)

plt.plot(domain,iterations)
plt.plot(domain,func_2sqrt)
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("iterations(n) and 2*sqrt(n)")
plt.show()

剧情如下：

如果你看不出有什么不同，那是因为几乎没有区别 :D 当然，人们应该永远相信数学 ;)

【参考方案4】：

严格按照 C++ 的规则，它是O(1)。循环要么在一定数量的没有可观察的工作后终止，要么永远循环（这是未定义的行为）。符合规范的实现可能会假设未遇到未定义的行为，因此我们可以假设它终止。

由于程序的可观察效果不依赖于循环内部发生的事情，因此允许实现将其“假装”成虚无。