在硬币兑换中找到多种方法来计算总和？

Posted 2023-02-22

【中文标题】在硬币兑换中找到多种方法来计算总和？

【英文标题】：Finding number of ways to make a sum in coin changing?

【发布时间】：2015-06-18 08:30:55

【问题描述】：

给定一个 N 值，如果我们想找 N 美分，并且我们有无限供应 S = S1, S2, .. , Sm 价值的硬币，我们有多少种方法可以找零？硬币的顺序无关紧要。

例如，对于 N = 4 和 S = 1,2,3，有四种解：1,1,1,1,1,1,2,2,2， 1,3。所以输出应该是 4。对于 N = 10 和 S = 2, 5, 3, 6，有五种解决方案：2,2,2,2,2，2,2,3,3， 2,2,6、2,3,5 和 5,5。所以输出应该是5。

现在，我有一个疑问。为什么我们不能做类似的事情，

arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2] + arr[i-3]

这基本上是，arr[i] 存储了求和 i 的方法数。我在这里给出的方法有点类似于n stairs problem，即我可以爬固定数量的楼梯，也就是说，假设一次 1 个楼梯或一次 2 个楼梯，我必须计算总数从底部到达顶部的方法。为什么我们不能在这个问题中使用类似的方法？

【问题讨论】：

你为什么不尝试实现这个想法，然后把它放在这里？我认为我们没有任何规则不使用任何类型的方法/想法。

我想问的是，这会是解决这个问题的正确方法吗？此外，我并不是要你帮我编写问题或调试一些代码，我只想知道，这是否是解决上述问题的正确方法？

这行不通，因为您可能会添加相同的案例（假设顺序被忽略）。

动态编程通常被称为递归的替代方案。话虽如此，您能想一想递归解决方案与您的想法有何不同吗？

重点是，最好看看你的实现并告诉你哪里出了问题。仅凭您的描述，很难说什么（至少是伪代码）。同意吗？

【参考方案1】：

为什么我们不能在这个问题中使用类似的方法？

这行不通，因为在 n 楼梯问题中，顺序很重要。例如如果您爬 5 级楼梯，则 1, 2, 1, 1 与 1, 1, 2, 1 不同。

但是在找零问题中，只有每个硬币的总计数，而不是你添加它们的顺序，所以如果你赚 5 美元，$1, $2, $1, $1 与 $1, $1, 2 美元，1 美元。因此，简单的记忆方法不起作用，您需要存储到达 arr[i] 的所有可能方式，而不仅仅是总数。

例如，假设您试图用 1 美元和 2 美元赚 6 美元。你不能把赚 4 美元的方法的数量加到赚 5 美元的方法的数量上，因为（例如）赚 4 美元的方法之一是 $1, $1, $2 （你可以把 $2 加到制作 $6 即 $1, $1, $2, $2），制作 $5 的方法之一是 $1, $2, $2（您可以将 $1 添加到 $6 $1, $2, $2, $1） .

但是 $1, $2, $2, $1 和 $1, $1, $2, $2 不应单独计算。

【讨论】：

对。我该怎么做？我是否应该在每个步骤中继续存储所有可能的解决方案？

只要存储一个元组，其值与每个解决方案的硬币数一样多。没那么复杂。

知道了。惊人的例子。清除了一切。 @samgak，非常感谢您的帮助。非常感谢。

【参考方案2】：

Samgak 的回答解释了进行更改与一次爬 1 或 2 步楼梯的不同之处：更改的顺序并不重要，但爬楼梯时的顺序很重要。

你可以使用动态规划来解决这个问题，但是你需要一个更复杂的状态。设a[i][j] 为 i 单位货币找零的方法数，仅使用前 j 个面额的硬币。所以，a[0][0]=1，a[i][0] = 0，对于 i 大于 0，对于 j 大于 0，a[i][j] = a[i][j-1] + a[i-Sj][j-1] + a[i-2*Sj][j-1]+...