在未加权图中找到最小顶点数

Posted 2023-02-22

【中文标题】在未加权图中找到最小顶点数

【英文标题】：find minimum number of vertices in unweighted graph

【发布时间】：2009-08-20 11:37:08

【问题描述】：

我有一个无向加权连接图。如果我选择一个顶点，我会自动选择与它直接连接的所有顶点。什么是算法，以便我能够使用最少的尝试次数选择图形的所有顶点？在每次尝试中，我选择一个顶点。例如对于邻接矩阵 a[][]=1,1,0,0,0, 1,1,1,1,0 ,0,1,1,0,0 0,1,0,1,1 0,0,0,1,1 我必须选择顶点 2 和 4 或顶点 2 和 5。

【问题讨论】：

如果你在 n 个顶点上绘制折线图，​​你必须选择 n/2 个顶点，所以在最坏的情况下，你有 O(n) 个随机图的选择。您对图表有任何先验知识吗？

@usersmarvin 但我需要它以最少的选择数量。 @koning any。

在图上不做任何假设，就没有通用的解决方案。任何给定的策略都会在随机图上失败。

usersmarvin，当然有一个总是有效的策略：“枚举所有可能的顶点选择，选择满足条件的最小的那个。”你的意思是没有多项式时间通用解决方案吗？

redtuna，当然你是对的。我的意思是，对于任何尝试简单地选择顶点的策略，你都会在一个不好的例子中选择它们

【参考方案1】：

正如red tuna 已经指出的，这是vertex cover 问题的一种。具体来说，这是一个dominating set 问题，主要区别在于支配集可以比正确的顶点覆盖小得多。

您可以将其建模为set cover problem。每个顶点都表示为一个包含自身和所有相邻顶点的子集。如果您不需要保证精确的最优解（只是一个非常好的解），则可以应用greedy set cover heuristic 在 lg n 时间内实现对最优集的逼近。 p>

【参考方案2】：

这似乎等同于vertex cover 问题。这是NP完全。***建议的算法之一是：

“一种有效的算法技术 这里称为有界搜索树 算法，其思想是 反复选择一些顶点和 递归分支，有两种情况 每一步：放置当前 顶点或其所有邻居进入 顶点覆盖。”

编辑

这是一个证明解决顶点覆盖将解决您的问题的证据，前提是没有没有边的顶点：

(*) 顶点覆盖的解决方案也解决了你的问题

对于每条边，至少有一个端点被顶点覆盖选择。如果至少有一条边连接到每个顶点，则所有顶点最终都会被选中（直接选择或通过直接选择的顶点相邻），从而解决问题。

注意，反过来不成立：

(*) 解决您的问题不一定解决顶点覆盖问题。

考虑这个图表：

[ ] - - - [X] ¦ ¦ ¦ ¦ [ ] - - - [X]

直接选择的节点标有“X”。该图解决了您的问题，但没有覆盖最左边的边缘（因此这不是顶点覆盖解决方案）。

【讨论】：

感谢您的回复。但我确定这不是 np 完整的。

不客气！我很好奇你是如何知道它不是 NP 完全的：Ire-and-curses 指出这正是支配集问题，***通过减少到顶点覆盖表明支配集问题是 NP 完全的.它确实允许一些例外情况，例如，如果您知道封面会很小（或恒定大小，甚至更好）。不过，在一般情况下，在我看来，这个问题确实是 NP-Complete。

我没有任何证据。这个问题是一个编码竞赛练习问题，管理员告诉它不是 np 完整的。这是链接..codechef.com/problems/MMADNESS。我想获得一些关于如何解决问题的线索，我会尝试解决它。​​

鉴于您最多有 26 台机器和 100 个链接，蛮力可能会很好地工作。试试我上面建议的有界搜索。或者您可以尝试枚举 n 个选定节点的所有选择，以增加 n 的值，直到找到令人满意的分配。

那么，我们信任谁？复杂性理论书籍大军指出 Vertex Cover 在 NP 或 codechef.com 中？