非相邻值的最大总和

Posted 2023-02-22

【中文标题】非相邻值的最大总和

【英文标题】：Maximum sum of non-adjacent values

【发布时间】：2018-11-15 08:02:28

【问题描述】：

我在论坛上找到了几个解决这个问题的方法，但似乎没有一个对我有帮助。主要是因为我找到了一种解决方案，但不知道它的工作原理和原因。

问题说明：对于给定的正整数数组，找出不相邻元素的最大和。

该问题还严格规定解决方案必须在线性时间内。这是我发现的：

int max1 = 0 
int max2 = a[0];

int i;
for(i = 1; i<n; i++)
    int new_max1 = max(max2, max1);
    max2 = max1 + a[i];
    max1 = new_max1;

return max(max1, max2);

谁能帮助澄清这个解决方案？

【问题讨论】：

您是否尝试用铅笔写下一个玩具示例，看看算法在这种情况下的表现如何？

是的，事实上我做了多个例子。仍然无法捕捉到模式。

@koy 第一个设备动态编程方法。我会选择自下而上的方法。该解决方案将占用 O(n) 空间，O(n) 时间。然后，我将通过维护当前和下一个变量来进一步优化空间。您的代码也是如此，但我建议您不要强迫自己学习这 1 个单一的解决方案，而应该使用您自己的解决方案。如果你能做到这一点，你也会明白这一点。

@Koy 试试这个。将 max1 重命名为 max_without_last_element 并将 max2 重命名为 max_with_last_element。一旦你重命名了变量，看看你是否理解这个程序。

【参考方案1】：

想想这几个问题：

P1i：求包含第 i 个的 Array[0:i+1] 的非相邻元素的最大和。P2i：求非相邻元素的最大和Array[0:i+1] 的相邻元素不包含第 i 个。

其中Array[i,j] 是Array 的子集，从第 i 个跨越到第 (j-1) 个。

想想如何根据P1i, P2i 解决P1(i+1), P2(i+1)。

你已经完成了！

更明确地说：

基本情况 (i=0) 是 Array[0], i

那么对于 i=1，P11, P21 的解决方案是 (Array[1] + P10), P20

那么对于 i=2，P12, P22 的解决方案是 (Array[2] + P21), P11

那么对于 i=3，P13, P23 的解决方案是 (Array[3] + P22), P12

那么对于 i=4，P14, P24 的解决方案是 (Array[3] + P23), P13

...

您正在寻找的解决方案是max(P1(n-1), P2(n-1))。

您发布的代码是迭代的。它可以很容易地以递归形式重写。玩得开心！

【参考方案2】：

这是一个动态编程/递归解决方案，它基本上着眼于每个位置的 2 个场景，是否包含或排除一个值。 由于数组中的所有值都是正数，因此该解决方案有效。 如果数组包含负值，此解决方案将不起作用。

arr = Array of numbers
af = function(currentIndex, cummulativeSum)
 if (currentIndex >= arr.length) return cummulativeSum

return Math.max(af(currentIndex+2,cummulativeSum+arr[currentIndex]), af(currentIndex+1, cummulativeSum))