具有附加约束的线性分配

Posted 2023-02-22

【中文标题】具有附加约束的线性分配

【英文标题】：Linear assignment with additional constraints

【发布时间】：2017-10-23 14:52:23

【问题描述】：

在标准的线性分配问题中，我可以使用匈牙利算法来实现 O(n^3)。如果添加额外的约束怎么办？示例：

具有 4 个代理的“常规”LAP 具有约束矩阵

结果向量 b = [1 1 1 1]。

匈牙利算法将按预期解决此类问题。但是如果再增加一个约束，使得约束矩阵是

结果向量 b = [1 1 1 1 0] ??

也就是说，除了在标准线性和约束下最小化成本函数外，我还必须考虑一个约束，例如

这个和产生上面附加矩阵中的最后一行。

显然，生成的约束矩阵不再是完全单模的。当然，标准的 MILP 会解决这个问题，但它是 NP 难的。我的问题是：是否有类似匈牙利语的算法可以在多项式时间内解决此 LAP？

【问题讨论】：

这个约束矩阵从何而来？对我来说，它看起来不像是 4x4 分配问题的 LP。

我已经编辑了我的问题，希望现在更清楚。

不，不是。对于大小为 n 的分配问题，标准形式的 LP 具有 n*2 约束和 n^2 个变量。你的没有（如果我们将此约束矩阵解释为 LP 公式）。所以很难使用你的公式。我的直觉是：不……没有多元解决方案。

【参考方案1】：

一般来说，带有边约束的网络流问题是 NP-Hard。例如，具有非负边成本的最短路径问题是多项式可解的。例如，您可以使用 Dijkstra 的最短路径算法。 （分配问题是网络流问题的一个特例。）

但是，如果您添加单个约束，规定使用的边数应小于某个常数，则随后的约束最短路径问题是 NP-Hard。

因此，您的问题不太可能是多项式算法。

【讨论】：

谢谢，不幸的消息，但非常有帮助！