击败 Strassen 算法的算法

Posted 2023-02-22

【中文标题】击败 Strassen 算法的算法

【英文标题】：Algorithm to beat Strassen's Algorithm

【发布时间】：2016-10-02 23:12:42

【问题描述】：

Caesar 教授希望开发一种矩阵乘法算法 渐近地比 Strassen 的算法快。他的算法将使用分治法，将每个矩阵分成大小为 n/4 x n/4 的块，并且除并合并步骤将花费 Theta(n^2) 时间。

【问题讨论】：

你能证明任何努力解决这个问题吗？

@ScottHunter 我在网上找到了这个解决方案，但我不明白。 clrs.skanev.com/04/05/02.html

什么解决方案？我没有看到任何解决方案。

@ScottHunter 我用解决方案的链接更新了我的回复

您能进一步解释这个问题吗？您是否要求渐近地比 Strassen 的矩阵乘法算法更快的算法的伪代码？该算法是否还应该使用具有需要 theta(n^2) 时间的组合步骤的分而治之？请澄清您的问题。

【参考方案1】：

你并没有具体说明这里的问题是什么，但我想这是为了反驳这个微不足道的算法比 Strassen 运行得更快。

假设您将矩阵划分为每个维度 (n / k) X (n / k) 的块（在您的问题中，k 是 4）。那么每个矩阵会有k²个块，会有k³个块乘法（每个块在第一个矩阵将乘以第二个矩阵中的 k 个块）。因此，复杂度递归为

T(n) = k³ T(n / k) + Θ(n²).

case 1 of the Master theorem，这意味着

T(n) = Θ(n^log_k(k3)) = Θ(n³ ).

这和普通的矩阵乘法一样。显然，它没有击败 Strassen。

【讨论】：

"把你的矩阵分成k个块...每个矩阵有k^2个块"?

@ScottHunter 非常感谢！那是一个可怕的错字。

不，这是一个绝妙的错字:)