列出所有下楼梯路径的时间复杂度？

Posted 2023-02-22

【中文标题】列出所有下楼梯路径的时间复杂度？

【英文标题】：Time complexity of listing all paths down stairs?

【发布时间】：2020-03-15 22:11:13

【问题描述】：

我无法确定爬楼梯问题的回溯解决方案的时间复杂度

你正在爬楼梯。到达顶部需要 n 步。

每次您可以爬 1 或 2 级台阶。您可以通过多少种不同的方式登顶？

注意：给定 n 将是一个正整数。

输入：2

输出：2

解释：有两种方法可以爬到 顶。

1 步 + 1 步 2 步

我的算法：

input = [1, 2]
output = set()
n = 4
def helper(temp):
    if sum(temp) == n:
        output.add(tuple(temp))
    elif sum(temp) > n:
        return
    else:
        for i in input:
            helper(temp + [i])
helper([])

print(output)

n = 4 的输出：

(1, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 2), (2, 2), (1, 1, 1, 1)

【参考方案1】：

这个函数的运行时间是不寻常的 Θ(n · φⁿ)，其中 φ 是 黄金比例，(1 + √5) / 2。

要了解这是为什么，让我们谈谈如何分析您编写的代码。想象一下这段代码的递归树。 （这是每个递归调用都有一个节点的树）。请注意，每个递归调用都会分支 - 一次调用大小为 n - 1 的子问题，一次调用大小为 n - 2 的问题。在每个内部节点都在分支的任何树中，总节点数最多为两倍叶数。在您的情况下，找到的每个解决方案都有一个叶子，当递归超过 n 的值时，还有一些额外的叶子。 （现在，我们将忽略第二组，但我们稍后会讨论为什么会这样。）这意味着递归调用的总数（前面的警告稍后解决）最多是路径数的两倍下楼梯。

那么这个问题有多少解决方案呢？结果表明，高度为 n 的楼梯的解数是exactly equal to the nth Fibonacci number，而第 n 个斐波那契数恰好是 Θ(φⁿ)。这意味着总共进行了 Θ(φⁿ) 次递归调用。

那么这些递归调用需要做多少工作？我们可以在 O(n) 上保守地对每个递归调用的工作进行上限，因为在最坏的情况下，将列表加起来 1 + 1 + 1 + ... + 1 n 次。但是我们也可以在 Ω(n) 处将工作量最大的叶子上的功下限，因为在最好的情况下，我们将 2 + 2 + ... + 2 加起来总共 n / 2 次。

总的来说，我们有 Θ(φⁿ) 调用，其中底部的调用每个都 Θ(n) 工作，总共 Θ(n · φⁿ) 工作。

还有最后一个细节需要解决——“过冲”并加起来大于 n 的递归调用呢？事实证明，其中也有 O(φⁿ) 个。看到这一点的一种方法是，达到 n + 1 的超调方式的数量最多是列出所有大小为 n + 1 的路径的解决方案的数量，并且有 O(φⁿ)这些。所以重新添加这些并不会改变任何东西。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

你能解释一下这个问题φ是否可以用2代替吗？因为这里有两个分支因子？

在这里使用 2 作为上限，因为 n * phi^n