使用 Numpy (np.linalg.svd) 进行奇异值分解

Posted 2023-02-16

【中文标题】使用 Numpy (np.linalg.svd) 进行奇异值分解

【英文标题】：Using Numpy (np.linalg.svd) for Singular Value Decomposition

【发布时间】：2014-09-14 19:11:31

【问题描述】：

我正在阅读 Abdi & Williams (2010) “主成分分析”，我正在尝试重做 SVD 以获得进一步 PCA 的值。

文章指出以下SVD：

X = P D Q^t

我将数据加载到 np.array X 中。

X = np.array(data)
P, D, Q = np.linalg.svd(X, full_matrices=False)
D = np.diag(D)

但我在检查时没有得到上述相等性

X_a = np.dot(np.dot(P, D), Q.T)

X_a 和 X 是相同的维度，但值不同。我是否遗漏了什么，或者 np.linalg.svd 函数的功能与论文中的公式不兼容？

【参考方案1】：

我认为对于那些在 Python/linalg 库中使用 SVD 的人来说，仍然有一些要点。首先，https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.linalg.svd.html 是 SVD 计算函数的一个很好的参考。

以 SVD 计算为 A= U D (V^T)， 对于 U, D, V = np.linalg.svd(A)，此函数已经以 V^T 形式返回 V。 D也只包含特征值，因此它必须被塑造成矩阵形式。因此重建可以用

import numpy as np
U, D, V = np.linalg.svd(A)
A_reconstructed = U @ np.diag(D) @ V

关键是，如果 A 矩阵不是方阵而是矩形矩阵，这行不通，你可以改用它

import numpy as np
U, D, V = np.linalg.svd(A)
m, n = A.shape
A_reconstructed = U[:,:n] @ np.diag(D) @ V[:m,:]

或者您可以在 SVD 函数中使用 'full_matrices=False' 选项；

import numpy as np
U, D, V = np.linalg.svd(A,full_matrices=False)
A_reconstructed = U @ np.diag(D) @ V

【参考方案2】：

TL;DR：numpy 的 SVD 计算 X = PDQ，所以 Q 已经转置。

SVD 有效地将矩阵X 分解为旋转P 和Q 以及对角矩阵D。 linalg.svd() 的版本我已经返回了 P 和 Q 的正向旋转。在计算 X_a 时，您不想转换 Q。

import numpy as np
X = np.random.normal(size=[20,18])
P, D, Q = np.linalg.svd(X, full_matrices=False)
X_a = np.matmul(np.matmul(P, np.diag(D)), Q)
print(np.std(X), np.std(X_a), np.std(X - X_a))

我得到：1.02、1.02、1.8e-15，表明X_a 非常准确地重构了X。

如果您使用的是 Python 3，@ 运算符实现矩阵乘法并使代码更易于理解：

import numpy as np
X = np.random.normal(size=[20,18])
P, D, Q = np.linalg.svd(X, full_matrices=False)
X_a = P @ diag(D) @ Q
print(np.std(X), np.std(X_a), np.std(X - X_a))
print('Is X close to X_a?', np.isclose(X, X_a).all())

【讨论】：

根据np.dot's documentation，矩阵乘法首选np.matmul

根据罗德里戈的评论更新了答案。还添加了较新的“@”符号。

【参考方案3】：

来自 scipy.linalg.svd 文档字符串，其中 (M,N) 是输入矩阵的形状，K 是两者中较小的一个：

Returns
-------
U : ndarray
    Unitary matrix having left singular vectors as columns.
    Of shape ``(M,M)`` or ``(M,K)``, depending on `full_matrices`.
s : ndarray
    The singular values, sorted in non-increasing order.
    Of shape (K,), with ``K = min(M, N)``.
Vh : ndarray
    Unitary matrix having right singular vectors as rows.
    Of shape ``(N,N)`` or ``(K,N)`` depending on `full_matrices`.

如上所述，Vh 是 Abdi 和 Williams 论文中使用的 Q 的转置。所以只是

X_a = P.dot(D).dot(Q)

应该给你答案。