如何获得世界空间中二维点的射线方程

Posted 2023-02-22

【中文标题】如何获得世界空间中二维点的射线方程

【英文标题】：How to get the ray equation of a 2d point in world space

【发布时间】：2017-04-04 23:14:15

【问题描述】：

我正在寻找二维空间中(x, y) 点的世界空间射线方程。所以给定(x, y)，我想得到类似的东西：

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t*(a, b, c)

(x0, y0, z0) 和 (a, b, c) 是我知道的向量。

我使用 OpenCV 中的solvePnP 函数将3D 模型转换为2D 坐标，所以我有旋转向量、过渡向量、相机矩阵和畸变系数。有人能解释一下在世界空间中得到这个射线方程所需的数学吗？

【问题讨论】：

请澄清问题。这个 2-D 点的参考系统是什么，它与 3-D 世界空间有什么关系？解释范式会让你从数学家那里得到更多帮助。

二维点基本上是从相机检测到的点的 (x, y) 坐标。我想将此点投影到 3-D 世界中的圆柱状形状上。

所以为了做到这一点，我想得到点的射线方程，并计算交点。那有意义吗？抱歉，我对此有点陌生，所以如果我遗漏了什么，请告诉我

越来越近了；谢谢。我认为 (x0, y0, z0) 是相机位置， (a, b, c) 是从二维点导出的向量。相机的二维系统如何与世界空间对齐？我设想相机将其视图解释为好像它位于单位半径的圆柱体中，该圆柱体在后方某个不可见点“解压缩”并展平以提取伪卡特斯坐标。

例如，中心左侧 10 度和虚拟地平线上方 15 度的某物可能被视为二维空间中的点 (-10, +15)。您想将其转换为 (x0, y0, z0) + t*(a, b, c) ... 其中 a, b, c 是 -10 和 15（及其组合）的三角函数。

【参考方案1】：

这就是我要做的。

对于[u, v] 坐标中的二维图像点，不扭曲二维坐标并应用反向透视变换。 OpenCV 已经有一个函数undistortPoints() 可以做到这一点。

您将在标准化的相机帧中获得一个 3D 坐标，即z=1。

对于线/射线equation，您的起点位于(x0=0, y0=0, z0=0)，另一点位于(x, y, z=1)。

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关于反向透视变换的注意事项。

对于给定的相机矩阵：

反向透视变换就是：

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关于坐标系变换的注意事项：

对于给定的世界（或对象）3D 点：

如果你知道相机的姿势（例如使用solvePnP()），你就有了变换矩阵：

要计算相机帧中的 3D 坐标：