树高的定义是啥？

Posted 2023-02-21

【中文标题】树高的定义是啥？

【英文标题】：What is the definition for the height of a tree?树高的定义是什么？

【发布时间】：2011-01-13 15:57:51

【问题描述】：

我似乎无法为此找到明确的答案，我正在尝试对堆做一些基本的证明，但这就是让我有点失望的原因：

空树有效吗？如果有，它的高度是多少？ 我认为这将是 0。

具有单个节点的树的高度是多少？ 我认为这将是 1，但我已经看到它是 0 的定义（如果是这种情况，那么我不知道如何解释一棵空树）。

【参考方案1】：

树的高度是从树的根到其最远节点（即离根最远的叶节点）的路径长度。

只有根节点的树的高度为 0，而节点为零的树将被视为空树。一棵空树的高度为-1。请查看this。

我希望这会有所帮助。

【讨论】：

我相信这是实现中使用的约定问题。当树中有一个或多个节点时，所有正的高度值和高度值为零都会被表示，你应该有一些东西来表示一棵空树。所以公约把它定为-1。您可以将其作为任何其他负值。它作为数据结构的实际抽象的实现问题 - 树不会涵盖这些内容。

高度为 -1 的空树的约定实际上在 AVL 树中有一些实际用途，因为它简化了计算平衡因子和何时旋转子节点。这个实现在实践中展示了它：users.cis.fiu.edu/~weiss/dsaajava/code/DataStructures/…

【参考方案2】：

我认为你应该看看 NIST 网站上的 Dictionary of Algorithms and Data Structures。有definition for height 表示单个节点的高度为0。

definition of a valid tree 确实包含一个空结构。该网站没有提到这种树的高度，但根据高度的定义，它也应该是0。

【讨论】：

谢谢，很高兴有一个可靠的来源可以引用（不要认为教授或同行评审会认为***是可接受的来源）。不过，它们的定义似乎有点矛盾，它们将树定义为“空（无节点）或根和零个或多个子树”。但是他们对高度的定义是根据根节点来定义的。

我认为，由于缺乏权威的引用来源，我会说一棵空树的高度未定义。这样一棵高度为 h 的完全二叉树中的节点数在 2^h 和 2^(h+1)-1 之间。如果你翻转它以根据 n 求解 h ，那么当树为空时，你最终会得到 log2(0)=undefined 。它至少给出了一个整洁的定义和很好的证明。

未定义空树的高度。树的高度是该树的根音符的高度（它是其孩子高度的最大值的一加，如果没有孩子，则为零）。空树没有根节点，所以不能说有高度。

其实newdefinition说空树的高度没有定义。

FWIW，CLR 似乎在这里遭受“对 null 的恐惧”。 Knuth 建议（尽管引用是顺便提及的）空树的高度应该为零。 NIST 跟随 CLR 的决定是不幸的。它不必要地使想要使用高度概念的代码复杂化。

【参考方案3】：

我已经看到它以两种方式使用（将单个节点计为 0 或 1），但大多数来源会将仅根树定义为高度为 0 的树，并且不会考虑 0 节点树有效。

【参考方案4】：

如果你的树是一个递归定义的数据结构，它可能是空的，也可能是一个带有左右子树的节点（例如搜索树或你的堆），那么自然定义就是将 0 分配给空树并且1 + 最高子树到非空树的高度。

如果您的树是图，那么自然定义是从根到叶的最长路径，因此仅根树的深度为 0。在这种情况下，您通常甚至不会考虑空树。

【讨论】：

我想指出 (a) 你显然是对的，并且 (b) NIST 和许多其他人不认为事情 (y) 我们的方式。我认为这种不幸的情况主要是由于 CLR，它患有“对 null 的恐惧”。

【参考方案5】：

树的高度是其任一子节点到终端节点的最长路径的长度。

***说the height of an empty tree is -1。我不同意。一棵空树实际上只是一棵包含一个终端节点的树（一个空值或表示一棵空树的特殊值）。由于节点没有子节点，其最长路径的长度必须为empty sum = 0，而不是-1。

同样，一棵非空树有两个孩子，所以根据定义，至少有一个路径 >= 1 到一个终端节点。

我们可以这样定义我们的树：

type 'a tree =
    | Node of 'a tree * 'a * 'a tree
    | Nil

let rec height = function
    | Node(left, x, right) -> 1 + max (height left) (height right)
    | Nil -> 0

【讨论】：

“一棵空树实际上就是一棵包含一个终端节点的树。”不，甚至比那更空虚......

【参考方案6】：

根据Wikipedia，只有一个节点的（子）树的高度为0。没有节点的树的高度为-1。但我认为这取决于你，你如何定义高度，你的证明应该适用于任何一个定义。

【参考方案7】：

实际上，树的高度的完美定义是从根开始的 d 最长路径的叶子的 d 级别加上 1..accordin 2 这个定义 fa 树是空的，它不会有任何级别 nv 不能认为它为零，因为级别根的零..所以空树级别是-1，而不是accordin 2定义它的-1 + 1 = 0..所以空树的零sd高度...bt n很多书他们给了-1 bt没有解释给定的