任意方向多重图的最大欧拉子图

Posted 2023-02-21

【中文标题】任意方向多重图的最大欧拉子图

【英文标题】：Maximum euler subgraph of arbitrary oriented multigraph

【发布时间】：2013-10-10 08:30:50

【问题描述】：

为了更准确地表述问题，让我将其重新表述为“城市”游戏。扮演两名球员。玩家 1 说出某个城市名称，例如 Moscow。玩家 2 现在必须说出某个城市名称，从之前称为城市的最后一个字母开始。这封信是W，所以第二个玩家说类似Washington。玩家 1 接下来呼叫某个城市，以 N 开头为 Norilsk，玩家 2 现在必须说出某个城市名称，以 K 开头，依此类推。一、谁不能说城市名就输了。

现在假设我们有字母 a..z 作为图顶点和（比如 10000 个）城市名称列表作为边。每条边都连接两个顶点（如moscow 连接m 和w）并且朝向m -> w。

所以我们现在有了面向多图。

任务是从给定的列表中找到可能的最长城市序列。每个城市只能按顺序出现一次。所以任务非常接近欧拉路径，但是在给定的图中可能有很多欧拉子图。

我的问题是如何在合理的时间内找到最大路径？

我知道，maximum euler subgraph 问题是 NP 难题。但是在我的问题中，图是非常紧密连接的，并且它具有少量且固定数量的顶点（就像上面描述的“城市”游戏中一样）。是否可以使用它来构建一些好的启发式方法？

我还在***上找到了一些word sequences问题，但没有合理的答案，因为很明显，单词图中的汉密尔顿子图比字母图中的欧拉子图更难找到，如果单词是边，所有这些问题是关于哈密顿，而不是欧拉子图。

将欣赏任何有用的链接、想法、算法描述和任何编程语言或伪代码的方法。

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恭喜康斯坦丁

【参考方案1】：

我认为您会找到更多资源，将其表示为有向图中的最长路径问题。该问题的最长路径公式似乎比欧拉公式更受关注。另请注意，最长路径与哈密顿路径不同，因为前者不需要跨越图。

将每个城市视为一个顶点，并在表示可行序列的顶点对之间放置一条弧。

值得一提的是，最长路径很难近似，在非常简单的图中它仍然是 NP-complete：http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_path_problem

这里是一些相关论文的链接：

http://link.springer.com/article/10.1007/BF02579454

http://lup.lub.lu.se/luur/download?func=downloadFile&recordOId=957757&fileOId=9\ 65291

【讨论】：

这种方法有问题。如果顶点是城市名称，则 N 约为 10000，O(2^N) 非常大。硬近似意味着根本不可能有接近的解决方案。另一方面，如果顶点是字母，则 N 约为 26，O(2^N) 似乎要好得多。

对于欧拉公式，我敢打赌，复杂性随着 E 的增加而增加，我们有 O(E)=O(2^N)。但是，我不能肯定地说。