哥德尔、埃舍尔、巴赫印刷数论 (TNT) 谜题和解决方案

Posted 2023-02-19

【中文标题】哥德尔、埃舍尔、巴赫印刷数论 (TNT) 谜题和解决方案

【英文标题】：Godel, Escher, Bach Typographical Number Theory (TNT) puzzles and solutions

【发布时间】：2010-10-13 06:35:10

【问题描述】：

在 Douglas Hofstader 的 Godel, Escher, Bach 的第 8 章中，读者面临着将这两个陈述翻译成 TNT 的挑战：

"b 是 2 的幂"

和

"b 是 10 的幂"

以下答案正确吗？：

（假设'∃'表示'存在一个数字'）：

∃x:(x.x = b)

即"存在一个数 'x' 使得 x 乘以 x 等于 b"

如果正确，那么下一个同样微不足道：

∃x:(x.x.x.x.x.x.x.x.x.x = b)

我很困惑，因为作者指出它们很棘手，第二个需要几个小时才能解决；我一定错过了这里明显的东西，但我看不到！

【问题讨论】：

+1 表示趣味性，& 因为我没有意识到 html 中有一个现成的“存在”实体。这里有一个完整的列表：tlt.its.psu.edu/suggestions/international/bylanguage/…

【参考方案1】：

您的表达式分别相当于“b 是平方数”和“b 是数字的 10 次方”这两个语句。将“power of”语句转换为 TNT 相当棘手。

【讨论】：

啊。恐怕我不知道“b 是平方数”和“b 是 2 的幂”之间的区别！我以为他们是一样的！你能解释一下吗？谢谢！

平方数是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100等。2的幂是1、2、4、8、16、32 , 64, 128, 256 等

平方数是 x^2，2 的幂是 2^x。

【参考方案2】：

怎么样：

∀x: ∀y: (SSx∙y = b → ∃z: z∙SS0 = SSx)

(英文：b 的任何大于 2 的因数本身必须能被 2 整除；字面意思是：对于所有自然数 x 和 y，如果 (2+x) * y = b 那么这意味着有一个自然数z 使得 z * 2 = (2+x)。)

我不能 100% 确定 TNT 和 propositional calculus 的语法是否允许这样做，我已经有一段时间没有仔细阅读 GEB 了。

(编辑：至少对于 b = 2ⁿ 问题；我明白为什么 10ⁿ 会更困难，因为 10 不是素数。但是 11n 除了用“SSSSSSSSSS0”替换一个术语“SS0”之外，其他都是一样的。）

【参考方案3】：

一般来说，我会说“b 是 2 的幂”等价于“b 的除 1 之外的所有除数都是 2 的倍数”。那就是：

∀x((∃y(y*x=b & ¬(x=S0))) → ∃z(SS0*z=x))

编辑：这对 10 不起作用（感谢 cmets）。但至少它适用于所有素数。对不起。我认为你毕竟必须使用某种编码序列。如果您想要对此进行详细且更通用的方法，我建议您使用 Raymond Smullyan 的“哥德尔不完备定理”。

或者您可以使用中国剩余定理对数字序列进行编码，然后对递归定义进行编码，这样您就可以定义指数。事实上，这基本上就是证明 Peano Arithmetic 是图灵完备的方法。

试试这个：

D(x,y)=∃a(a*x=y)
Prime(x)=¬x=1&∀yD(y,x)→y=x|y=1
a=b mod c = ∃k a=c*k+b

然后

∃y ∃k(
 ∀x(D(x,y)&Prime(x)→¬D(x*x,y)) &
 ∀x(D(x,y)&Prime(x)&∀z(Prime(z)&z<x→¬D(z,y))→(k=1 mod x)) &
 ∀x∀z(D(x,y)&Prime(x)&D(z,y)&Prime(z)&z<x&∀t(z<t<x→¬(Prime(t)&D(t,y)))→
  ∀a<x ∀c<z ((k=a mod x)&(k=c mod z)-> a=c*10))&
 ∀x(D(x,y)&Prime(x)&∀z(Prime(z)&z>x→¬D(z,y))→(b<x & (k=b mod x))))

应该说“b是10的幂”，实际上是说“有一个数字y和一个数字k，使得y是不同素数的乘积，并且通过这些素数由k编码的序列以1开头，具有属性a的后面的元素c是10*a，以b结尾"

【讨论】：

这不适用于 10； 10 次方的一些除数不是 10 的倍数。（例如 2、4、8、16 等，以及 5、25、125 等）

谢谢，我已经更正了我的帖子，希望现在是正确的。

我认为您需要检查 x & y 是否也不为零，否则 b=0 是正确的。我建议 ∀x:

【参考方案4】：

我认为上面的大部分内容只表明 b 必须是 4 的倍数。这个怎么样：∃b:∀c: → c = 2>

我不认为格式是完美的，但它写道：

存在b，使得对于所有c，如果c是b的因数且c是素数，则c等于2。

【参考方案5】：

在持怀疑态度的科学家的帖子here 中，扰流板按钮背后的“b 是 10 的幂”问题有一个解决方案。它依赖于数论中的中国余数定理，以及任意长的素数等差数列的存在。正如 Hofstadter 指出的那样，即使您知道适当的定理，也不容易提出。

【参考方案6】：

这就是我对“b 是 2 的幂”这个陈述的看法

∃b: ∀a: ~∃c: ((a * ss0) + sss0) * c = b

我认为这是说“存在一个数字 b，因此对于所有数字 a，不存在一个数字 c 使得 (a * 2) + 3（换句话说，大于 2 的奇数）相乘由 c，给你 b。”那么，如果 b 存在，并且不能为零，并且它没有大于 2 的奇数除数，那么 b 不一定是 1、2 或 2 的另一个幂？

【讨论】：

"如果 b ... 不能为零"。你怎么在这里陈述这个？ TNT 变量可以包含任何自然数值，包括零。他在本章中使用的技巧是Sb，意思是“任何数字的后继者”或“一个或更大”，自然不能计算为零。

【参考方案7】：

这是我想出的：

∀c:∃d:>

翻译为：

对于所有数 c，存在一个数 d，如果 c 乘 d 等于 b，则 c 为 1，或者存在一个数 e，使得 d 等于 e 乘以 2。

或者

对于所有数 c，存在一个数 d，这样如果 b 是 c 的因数而 d 则 c 是 1 或 d 是 2 的因数

或者

如果两个数的乘积是 b，那么其中一个是 1，或者其中一个可以被 2 整除

或者

b 的所有除数要么是 1，要么能被 2 整除

或者

b 是 2 的幂

【讨论】：

反例：假设b = 2。那么假设成立的c必须是1或2。前者可以，但对于后者，d = 1。在这种情况下，c ≠ 1 和 d ≠ e * 2，因此暗示并不适用于所有 c。这是真的还是我错过了什么？

【参考方案8】：

对于表示 b 是 2 的幂的开放表达式，我有 ∀a:~∃c:(S(Sa ∙ SS0) ∙ Sc) = b

这实际上说明对于所有 a，S(Sa ∙ SS0) 不是 b 的因数。但在正常情况下，S(Sa ∙ SS0) 是1 + ((a + 1) * 2) 或3 + 2a。我们现在可以将语句改写为“没有至少为 3 的奇数是 b 的因数”。当且仅当 b 是 2 的幂时，这是正确的。

我仍在研究 b 是 10 的幂的问题。

【参考方案9】：

在表达“b 是 10 的幂”时，您实际上不需要中国剩余定理和/或有限序列的编码。您也可以按以下方式工作（我们使用常用符号 |、>、c-d 作为具有明显含义的公式/术语的快捷方式）：

对于素数 p，让我们用 EXP(p,a) 表示 TNT 中的某个公式，即“p 是素数，a 是 p 的幂”。我们已经知道，如何构建一个。 （出于技术原因，我们不认为 S0 是 p 的幂，所以 ~EXP(p,S0)。）

如果 p 是素数，我们定义 EXP_p(c,a) ≖ 。在这里，符号 |是“除数”的一种快捷方式，可以在 TNT 中使用一个存在量词和乘法轻松定义； c-1 (a-1, resp.) 也是如此，这意味着“d 使得 Sd=c”（Sd=a, resp.）。 如果 EXP(p,c) 成立（即 c 是 p 的幂），则公式 EXP_p(c,a) 表示“a 是 c 的幂”，因为 a ≡ 1 (mod c-1) 然后。

1234563 → ~P(a)〉〉。

我们可以表述“b 是 10 的幂”的公式（为了更好的可读性，我们省略了符号 ，我们用 2 和 5 代替 SS0 和 SSSSS0）： ∃a:∃c:∃d: (EXP(2,a) ∧ EXP(5,c) ∧ EXP(5,d) ∧ d > b ∧ a⋅c=b ∧ ∀e:(e>5 ∧ e |c ∧ EXP₅(e,c) → ~EXP₅(e,d)) ∧ ∀e:("e 是最小的，使得 EXP ₅(c,e) ∧ EXP₅(d,e)" → (d-2)|(ea)))。

解释：我们写b = a⋅c = 2^x⋅5^y (x,y>0) 并选择d= 5^z>b 使得 z 和 y 互质（例如 z 可能是质数）。那么“最小的 e...”等于 (5^z)^y = d^y ≡ 2^y (mod d-2) 和 (d-2)|(ea) 意味着 a = 2^x = e mod (d-2) = 2^y（我们也有 'd-2 > 2^y' 和 'd-2 > a'），所以 x = y。

备注：这种方法可以很容易地适应定义“b 是 n 的幂”对于任何数字 n 具有固定分解 a₁a₂ ...a_k，其中每个 a_i 是素数 p_i 和 p_{i = pj → i=j.}

【参考方案10】：

我对 b 的解决方案是 2 的幂是： ∀x: ∃y x.y=b ( isprime(x) => x = SS0 )

isprime() 应该不难写。