找到与给定数字相乘的数字的有效方法

Posted 2023-02-19

【中文标题】找到与给定数字相乘的数字的有效方法

【英文标题】：Efficient way to find numbers that multiply to given numbers

【发布时间】：2020-05-24 07:34:42

【问题描述】：

我得到了2 列表、a 和 b。它们都只包含整数。 min(a) > 0、max(a) 最高可达1e10 和max(abs(b)) 最高可达1e5。我需要找到元组的数量(x, y, z)，其中x 在a 中，y, z 在b 中，这样x = -yz。 a 和 b 中的元素个数最多可达1e5。

我的尝试：

我想出了一个幼稚的n^2 算法。但是，由于大小可以达到 1e5，我需要提出一个nlogn 解决方案（最大）。我所做的是：

将b 拆分为bp 和bn，其中第一个包含所有正数，第二个包含所有负数并创建它们的映射。

然后：

2.1 我遍历 a 以获取 x 的。

2.2 遍历bn 和bp 中较短的一个。检查当前元素是否除以x。如果是，请使用map.find() 查看z = -x/y 是否存在。

什么是有效的方法？

【问题讨论】：

也许您可以分解x 以获得它的所有质因数。如果只有一个，那么只有y = a, z = 1 是一个解决方案。如果有两个或更多，您将不得不搜索所有因子对 x0, x1 其中 x0*x1 = x 并找到您在步骤 2 中已经完成的那些。至少这样，您不只是暴力破解所有值的a（其中可以有很多）。

可以，但远低于10000000000。

您可以为a、map[a[i]] = true 创建map hash-container，据我所知b 可以是正数和负数，因此您可以通过快速排序对数组进行排序。因此，您可以找到“中性”元素 - 负数或零之后的第一个正数。在您可以对多个数字使用嵌套for循环后（外部循环只有负数，内部只有正数），乘法的结果用于检查映射map[b1*b2] == true中是否有这个结果@

@AyratArifullin 这与我所做的非常相似。复杂性仍然存在O(n^2)

@AyratArifullin b 可以有1e5 元素，它们可以和1e5 一样大。这些数字不能相乘，会导致溢出

【参考方案1】：

第 1 步：对列表 b 中的元素进行排序（比如 bsorted） 第 2 步：对于 a 中的值 x，遍历列表 bsorted 中 bsorted 中的每个值 y，并在 bsorted 上对 (-x/y) 进行二进制搜索以找到 z

复杂度 |a|=m 和 |b|=n 复杂度为 O(mnlogn)

【参考方案2】：

没有 O(n*logn) 因为：z = -x/y log(z) = log(-x) - log(y)

正如https://***.com/users/12299000/kaya3 所提到的，它是3SUM#3_different_arrays。根据***：

Kane、Lovett 和 Moran 表明 3SUM 的 6 线性决策树复杂度为 O(n*log^2n)

【参考方案3】：

这是一个未经验证的想法。从b 的元素创建trie，其中“字符”是有序的素数。对于a 中的每个元素，遍历trie 中的所有有效路径（DFS 或 BFS，其中测试能够被当前节点进一步划分），并且对于到达的每个叶子，检查剩余元素（在划分后每个节点）都存在于b 中。 （我们可能需要通过存储每个“单词”的计数并使用简单的组合来处理重复项。）