带有嵌套 if 语句的 while 循环的 Big-O 运行时

Posted 2023-02-19

【中文标题】带有嵌套 if 语句的 while 循环的 Big-O 运行时

【英文标题】：Big-O runtime of while-loop with nesten if-statements

【发布时间】：2022-01-09 17:38:48

【问题描述】：

我正在尝试确定这些 code-sn-ps 的 Big-O 表示法：

#1：

public static void printProducts (int n) 
    int a = 0; // O(1)
    int b = n; // O(1)

    // O(n)?
    while (a < b)
        // O(?) This if is checked n times, but how many times is it ran?
        if (a * b == n)  
            System.out.println( a + "*" + b + "=" + a*b ); // O(1)
            a++;                                           // O(1)
            b--;                                           // O(1)
        
        else if ( a * b > n ) 
            b--;                                           // O(1)
        
        else if ( a * b < n ) 
            a++;                                           // O(1)
        
    

#2：

public static void printProducts2 (int n) 
        int a = 1; // O(1)
        int b = n; // O(1)
    
        // O(log n)
        while (a < b)
            if (a * b == n) 
                System.out.println( a + "*" + b + "=" + a*b ); // O(1)
                a++;                                           // O(1)
                b--;                                           // O(1)
            
            else  
                if ( a * b > n ) 
                    b = n/a;                                   // O(log n)
                
                else if ( a * b < n ) 
                    a++;                                       // O(1)
                
            
        
    

我已经得出结论，第一个代码的 Big-O 符号是 O(n)，第二个是 O(log n)，但我不确定它是否正确。我在正确的轨道上吗？

在提出我自己的问题之前，我曾尝试查看this 问题，但我不太明白它是如何应用在这里的。

【问题讨论】：

由于 Big-O 表示法的性质，循环体中发生的事情并不重要，但更多的是需要多少次迭代。这将决定整体的复杂性。

【参考方案1】：

分别为 O(n) 和 O(sqrt(n))。

第一个确实是 O(n)。您说得对，while 循环运行 O(n) 次，循环内的所有内容都是恒定时间*，因此 if 条件为真的频率并不重要。

第二个更有趣。您正确地指出b 的快速减少使函数不那么复杂。事实上，这个函数的作用是逐步增加a，然后将b 设置为适当的值，这样a*b==n，如果存在这样的b。这意味着b 只能在a 更改时更改，因此至少在进入循环的一半时间内，a 会更改。也就是说，a 每增加一次，循环就会进入固定的次数。

现在我们只需要弄清楚a 增加的频率。当a > b 时循环停止。因为b 等于n/a，这意味着当a 大于n 的平方根时循环停止。因此，函数在 O(sqrt(n)) 中。

* 实际上，除法、乘法和比较数字所需的时间可以随着数字的大小而变化，但我们暂时忽略这一点，因为这似乎不是问题的重点。