如何解决以下复发？

Posted 2023-02-19

【中文标题】如何解决以下复发？

【英文标题】：How to solve the following recurrence?

【发布时间】：2016-05-30 02:04:37

【问题描述】：

我不熟悉主定理、递归树和替换方法之外的递归求解技术。我猜想为大 O 界解决以下递归不使用这些方法之一：

T(n) = T(n-1) + 2T(n-2) + 1

【问题讨论】：

T(n) 的基本情况是什么？

这是使用歼灭者方法的好地方......我实际上不知道该怎么做。 :-)

未提供基本情况。我猜它不需要实现大 O 界限？

提示：T(n) = 2^n。此外，请查看this math stackexchange question。

【参考方案1】：

我们可以替换U(n) = T(n) + 1/2然后得到一个循环

U(n) = T(n) + 1/2
     = T(n-1) + 2T(n-2) + 1 + 1/2
     = T(n-1) + 1/2 + 2(T(n-2) + 1/2)
     = U(n-1) + 2U(n-2),

这有点神奇，但正如 templatetypedef 所提到的，可以使用 annihilator 方法创建魔法。现在我们只需要解决线性齐次递归。特征多项式x^2 - x - 2 因子为(x+1)(x-2)，因此解为U(n) = a(-1)^n + b2^n，其中a 和b 是任意常数。等价于T(n) = a(-1)^n + b2^n - 1/2，即Theta(2^n)，特殊情况除外。

【参考方案2】：

此递归称为non-homogeneous linear recurrence.，通过将其转换为齐次递归来解决：

T(n) = T(n-1) + 2T(n-2) + 1
T(n+1) = T(n) + 2T(n-1) + 1

从 2 中减去 1 并更改基数，得到T(n) = 2 T(n-1) + T(n-2) - 2 T(n-3)。对应的特征方程为：

x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0

有解决方案x = -1, 1, 2。这意味着递归看起来像：

c1 * (-1)^n + c2 * 2^n + c3 * 1^n = c1 * 2^n + c2 (-1)^n + c3

在知道 T(0) 和 T(1) 的情况下可以找到所有这些常数。对于您的复杂性分析，很明显这是指数级O(2^n)。