Java - 时间复杂度 O(N**2)

Posted 2023-02-19

【中文标题】Java - 时间复杂度 O(N**2)

【英文标题】：Java - Time Complexity O(N**2)

【发布时间】：2022-01-20 13:26:26

【问题描述】：

我正在练习 Codility。有一个简单级别的问题，但我被困在性能上。测试结果分析将此代码标记为O(N**2)，但显然没有任何嵌套循环。谁能告诉我为什么我的代码是 O(N**2)？

public static int solution(int X, int[] A) 
    List<Integer> temp = new ArrayList<>();
    for (int i = 1; i <= X; i++ )
        temp.add(i);
    

    int counter = 0;
    int res = -1;
    for (int i: A)
        if (temp.contains(i)) 
            temp.remove(new Integer(i));
        
        if (temp.size() == 0)
            res= counter;
            break;
        
        counter++;
    

    if (temp.size() != 0)

        res = -1;
    
    return res;

【问题讨论】：

您可能需要检查documentation for ArrayList：“[add 除外，所有其他操作都以线性时间运行（粗略地说）”您已致电 contains 和remove在循环中。

我认为这是由于使用了remove 和contains。在最坏的情况下，它们将花费整个数组的遍历。

【参考方案1】：

那是因为使用了contains。 temp 是 ArrayList，contains 执行线性查找。在 for 循环中，这将变为 O(N²)。

【讨论】：

这个结论取决于X，temp的初始长度，保证与A.length成正比。如果没有这样的约束，渐近复杂度可能或多或少，我们可以肯定地说是 O(X * N)。

【参考方案2】：

测试结果分析将此代码标记为O(N**2)，但显然 没有任何嵌套循环。谁能告诉我为什么我的代码是 O(N**2)?

渐近复杂度不（仅）与循环计数有关。您对A 的元素有一个循环，并在其中调用temp.contains()，并有条件地调用temp.remove()。对于ArrayList，每一项的成本都与temp 中的元素数量成正比。

总体而言，如果N 是A.length，那么您的方法的渐近复杂度为 O(X * N)。 Codility 的分析似乎不太正确，但如果不能将X 视为由常数限制，那么您的代码仍然比O(N) 更复杂。如果 Codility 执行启发式分析，在 X 和 N 之间引入人为关系，然后服从该函数关系，您的方法确实可能是 O(N² )。

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你绝对可以做得更好。您的方法似乎是计算 A 的最小初始子数组的长度，该子数组包含 1 和 X 之间的所有整数。为了有效地执行此操作，您确实需要某种机制来跟踪已看到的值，但包含在 List 中是一个昂贵的选择。请考虑使用 boolean 的数组来跟踪已看到哪些特定值，并单独计算已看到的数量：

boolean[] seen = new boolean[X + 1];
int numSeen = 0;

有了这个，循环遍历A 的元素，并且对于在1 ... X 范围内的每个元素i，测试seen[i]（每次测试花费O(1)）。如果true，什么也不做。如果false，将seen[i]设置为true(O(1))，递增numSeen(O(1))，并测试numSeen是否达到X(O(1))。返回在numSeen 达到X 之前必须检查的元素数，如果numSeen 从未达到X，则返回-1。 （细节留作练习。）

这样，每次循环迭代都会执行O(1) 工作，而不管X 上的任何限制，而O(1) 工作实际上是便宜，这是一个不同的考虑因素。总体而言：O(N)，效率也很高。

【参考方案3】：

另一个循环隐藏在ArrayList的remove方法中。 ArrayList的remove方法是O(N)，因为它必须移动元素来填补空白。

for (int i: A)   // ===> O(N)
        if (temp.contains(i)) 
            temp.remove(new Integer(i));  //===> O(N)
        
        if (temp.size() == 0)
            res= counter;
            break;
        
        counter++;