如果基本情况不是在恒定运行时而是在多项式运行时运行，主定理是不是适用？

Posted 2023-02-19

【中文标题】如果基本情况不是在恒定运行时而是在多项式运行时运行，主定理是不是适用？

【英文标题】：Will master theorem be applicable if the base case is not running in constant runtime but in polynomial runtime?如果基本情况不是在恒定运行时而是在多项式运行时运行，主定理是否适用？

【发布时间】：2017-09-16 16:40:55

【问题描述】：

这是我的递归函数：

function abc(n):
    if n == 0 
    return xyz(n)

    for i = 1 to n 
        print(xyz(n))

return abc(n/2) + abc(n/2)

并且 xyz() 是 ϴ(n^3)。 Master定理在这里有效吗？如果，是，我将如何写？

【问题讨论】：

什么是 Theta（零立方）？？

@MBo 这是 Theta（n 立方）。函数 xyz 的下限。

当n=0时，xyz(0)=Theta(0)，不是吗？

也许你可以写出更多的递归函数，并说出你认为递归关系对于它的运行时是什么？目前很难知道你在问什么，因为这个问题似乎是基于“xyz(0) 在多项式时间内运行”的误解。

@PaulHankin - 我已经更新了它。你能讨论一下在上述情况下会发生什么吗？ .谢谢！

【参考方案1】：

主定理涉及这种形式的递归关系：

T(n) = a * T(n/b) + f(n)

T 是递归过程，a 是我们将输入划分为的子问题的数量n，n/b 每个子问题的大小，`f(n) 是划分输入的成本分成子问题和结果的组合。

如果n == 0 则n/b 变为0，a 也是如此。这给我们留下了：

T(0) = 0 + f(0)

由于不再有递归，它基本上归结为f(0)。在您的假设情况下，这具有复杂性 ϴ(n^3)。

由于f(n) 是将n 划分为a 子问题和结果组合的成本，f(0) 通常的成本为 0 或常数。如果函数 f(n) 的复杂度为 ϴ(n^3)，那么实际上对于 n == 0 这仍然导致输入大小的成本为 0。

主定理提供关于T(n) 的渐近界的信息，具体取决于f(n)、a 和b 的复杂性。这取决于f(n) 的复杂性如何使用采用logb(a)（以a 为底的日志）的形式来表达。 0 的对数未定义，b > 0。

归结为，询问主定理是否适用于某些特定输入是没有意义的。此外，无论如何，主定理仍然成立，它只是指出，根据f(n)，您可以对T 的复杂性提出一些主张。这取决于a 和b，所以如果没有这些信息，询问是没有意义的。如果您的f(n) 在基本情况之外也有 O(n^3)（n > 0），那么您可以根据 3 与a 和b 的关系来提出关于 T 的声明。例如，如果 3 < logb(a) 你可以确定 T 是 ϴ(n^(logb(a))。

假设你算法中的a是2^n，那么主定理就不能再用来说明T的复杂性了。

编辑

在你的问题编辑之后，你的递归过程的形式变成了这样：

T(n) = 2 * T(n/2) + f(n)

所以a == 2 和b == 2 是您案例中的参数，因为您将输入分成两个子问题，每个子问题的输入是执行递归的输入的一半。两个递归调用的组合是恒定的（一个简单的加法abc(n/2) + abc(n/2)）并且问题的划分也很简单，但是在您的情况下，这部分可以模拟一个用于将输入划分为子问题的 ϴ(n^4) 算法：

for i = 1 to n 
    print(xyz(n))

请注意，它是 ϴ(n^4)，因为您声明 xyz(n) 是 ϴ(n^3)，并且您在循环中重复了 n 次。所以你的f(n) = ϴ(n^4)。

主定理不能真正说明这一点。但是，如果f(n) = Ω(n^4)（请注意此处的欧米茄），那么4 > log2(2)（在您的情况下为 b = 2 和 a = 2 的 logb(a)）。为了说明 T 的复杂性，现在必须满足另一个条件，正则性条件。它指出a * f(n/b) <= k * f(n) 对于某些 k

这给了我们2 * f(n/2) <= k * f(n)。这对于 k T = ϴ(f(n))，所以T = ϴ(n^4)。

意味着如果您的 f(n)（带有 xyz 调用的循环）可以被证明是 Ω(n^4)（再次注意 omega 而不是 theta），则最后一部分是正确的。由于 omega 是下限，并且您的 f(n) = ϴ(n^4)，这应该是正确的。

【讨论】：

我已经更新了我的问题，根据您的解释，整体复杂性不取决于基本情况，而是取决于 f(n)。这意味着主定理将在更新的问题中成立，我的运行时间将是ϴ(n^4)。并且递归方程将是 T(n) = 2*T(n/2) + n^4 。这是正确的吗？

@talos1904 编辑了我的答案以从您的额外信息中推断。但是，在没有像我一样长时间脱离算法理论的人证实之前，不要把这些当成真理。

如果f(n) = ϴ(n^4)则表示f(n) = O(n^4)和f(n) = Ω(n^4)，这意味着上面的解释在f(n) = ϴ(n^4)时应该是正确的。对吗？

确实，f(n) = Ω(n^4) 源自f(n) = ϴ(n^4)，再加上正则条件让我们声明T(n) = ϴ(n^4)。重要的部分是了解a 和b 参数，以及它们与函数f(n) 的复杂性之间的关系，该函数包含子问题的划分和结果的组合。至于基本情况，它不需要额外的递归，因此它会在可以“直接”获得结果的输入大小的某个阈值处切断。因此，即使您可以结束递归，例如 n = 3 而不是 n = 0，这仍然是 xyz 的硬上限。

是的！现在一切都说得通了。谢谢！！