掌握递归关系时间复杂度的定理

Posted 2023-02-19

【中文标题】掌握递归关系时间复杂度的定理

【英文标题】：Master Theorem to find time complexity of recurrence relation

【发布时间】：2019-07-28 05:36:33

【问题描述】：

我试图理解和实现主定理以找出递归关系的时间复杂度。

但是，我无法理解我们如何计算使用它的算法的时间复杂度。

考虑这个算法来查找二叉树的直径

class Node 

    int data; 
    Node left, right; 

    public Node(int item) 
     
        data = item; 
        left = right = null; 
    






/* Class to print the Diameter */

    class BinaryTree 

 
    Node root; 

    /* Method to calculate the diameter and return it to main */
    int diameter(Node root) 
     
        /* base case if tree is empty */
        if (root == null) 
            return 0; 

        /* get the height of left and right sub trees */
        int lheight = height(root.left); 
        int rheight = height(root.right); 

        /* get the diameter of left and right subtrees */
        int ldiameter = diameter(root.left); 
        int rdiameter = diameter(root.right); 

        /* Return max of following three 
          1) Diameter of left subtree 
         2) Diameter of right subtree 
         3) Height of left subtree + height of right subtree + 1 */
        return Math.max(lheight + rheight + 1, 
                        Math.max(ldiameter, rdiameter)); 

     

    /* A wrapper over diameter(Node root) */
    int diameter() 
     
        return diameter(root); 
     

    /*The function Compute the "height" of a tree. Height is the 
      number f nodes along the longest path from the root node 
      down to the farthest leaf node.*/
    static int height(Node node) 
     
        /* base case tree is empty */
        if (node == null) 
            return 0; 

        /* If tree is not empty then height = 1 + max of left 
           height and right heights */
        return (1 + Math.max(height(node.left), height(node.right))); 
     

    public static void main(String args[]) 
     
        /* creating a binary tree and entering the nodes */
        BinaryTree tree = new BinaryTree(); 
        tree.root = new Node(1); 
        tree.root.left = new Node(2); 
        tree.root.right = new Node(3); 
        tree.root.left.left = new Node(4); 
        tree.root.left.right = new Node(5); 

        System.out.println("The diameter of the given binary tree is: "
                           + tree.diameter()); 
     
 

我知道上面算法的时间复杂度是O(n^2) 只是看着它。由于单个递归调用每个节点的时间很多。

如何使用 Master Method 找到该算法的时间复杂度？

在寻找递归函数的时间复杂度方面，我完全是一个新手。 而且我认为Master Theorem是一种计算递归函数时间复杂度的方法。

如何使用主方法或任何其他方法找到递归算法的时间复杂度？

如果有人能教我如何找到递归函数的时间复杂度，那将是一个很大的帮助。

谢谢！

【参考方案1】：

如果我们假设二叉树是平衡的，那么总的时间复杂度是T(n)和T(n) = 2T(n/2) + 2T(n/2) + 1。第一个2T(n/2) 用于直径（左右），第二个2T(n/2) 用于高度（左右高度）。因此T(n) = 4T(n/2) + 1 = O(n^2)（master theorem 的第一种情况）。

【讨论】：

你是怎么想出这种关系的？我想学！

以及如何 4t(n/2) +1 = O(n^2)。对不起。我可能听起来很蹩脚。但我在这方面真的很弱