什么时候可以实际应用主定理？

Posted 2023-02-19

【中文标题】什么时候可以实际应用主定理？

【英文标题】：When can the Master Theorem actually be applied?

【发布时间】：2016-04-07 09:22:09

【问题描述】：

我对此感到非常沮丧。

在 CLRS 第 3 版第 95 页（第 4.5 章）中，它提到像

T(n) = 2T(n/2) + n lg n

无法用主定理解决，因为差异

f(n)/n^(log_b(a)) = (n lg n)/n^1 = lg n

不是多项式。

但后来我遇到像this 这样的页面，在页面底部，它提到了完全相同的重复，并说它可以用主定理解决，因为它属于“扩展案例 2”即使差异是非多项式的。它变为n lg^2 n（将f(n) 上的日志因子加一）。

然后我遇到像 this 这样的页面，在示例 (e) 中似乎是扩展案例 2 的明确应用（重复是 T(n) = 4T(n/2) + n^2 lg n），但随后解决方案不是 n^2 log^2 n，而是 @987654329 @！是我错了还是论文错了？

谁能把矛盾说清楚，什么时候可以使用主定理，什么时候不能使用？多项式差分检查何时重要，何时不重要？扩展案例 2 是否可用，或者它实际上违反了什么？

编辑：

我尝试直接从第二篇论文中解决递归（e），我得到：

T(n) = n^2 lg^2(n)/2 + n^2 lg(n)/2

这不是大θn^2 lg^2 n吗？

【问题讨论】：

请注意，书中主定理的案例 2 与您在其他地方遇到的通用形式（包括您的示例）不同。广义形式从何而来？书中的习题4.6-2，其实很容易自己证明。 :-)

@MichaelFoukarakis 那么您会说多项式差分规则仅适用于情况 1 和 3？

多项式差分“规则”比多项式情况更严格。它适用于所有 3 种情况。在第二种情况下，它只是允许放松。

【参考方案1】：

书上说不能用Case 3解决：

即使它看起来具有正确的形式：...您可能会错误地认为案例 3 应该适用

---

但是，这个递归公式可以使用主定理解决，案例 2。

T(n) = 2T(n/2) + nlgn:

我们定义：

a = 2, b = 2, f(n) = nlgn

使用Master theorem case 2：

c = log_2(2) = 1
k = 1

而f(n) 确实在Theta(nlogn) 中。

所以，掌握定理案例 2 的所有条件都适用，我们可以推断：

T(n) 在Theta(n^c * log(n)^(k+1)) = Theta(n*log(n)^2)中

---

长话短说，Master theorem 有 3 个案例。每个案例都有其适用的先决条件。案例 3 有更复杂的先决条件，因为它也需要收敛。 由于案例 3 的先决条件不适用于此公式，因此您不能使用案例 3。但是，案例 2 的先决条件 - 确实适用，您可以使用它。

【讨论】：

它确实提到案例 3 不适用，但前几行它说主定理作为一个整体不适用于它（“主方法不适用于递归.. .”），然后不久之后说“您可能错误地认为案例 3 应该适用......”。在第 96 页，它声称复发“落入案例 2 和案例 3 之间的间隙”。书错了吗？

这个怎么样：你是否同意以下陈述：CLRS是错误的，主定理案例2适用于T(n) = 2T(n/2) + n lg n并且有很大的Thetan lg^2 n，我链接的第二篇论文是错误的和@ 987654332@ 也是 case 2，因此大 Theta n^2 lg^2 n，而“多项式差分”的概念仅适用于处理 case 1 和 case 3？

(1) CLRS 不能确定这不是案例 2，它实际上是在向您指出案例 2 的证明作为解决此问题的方法。我确实同意书中的措辞有点误导。 (2) 只有case 3需要“多项式差分”，case 1和case 2不需要。

书中哪里指出案例 2 是问题的解决方案？您是否有其他版本的 CLRS 提到了这一点？在我的书中，它将递归称为无法用主定理解决，并使用案例 3 作为您可以尝试的示例，但由于多项式差分规则，这将是不正确的。它没有提及甚至暗示适用案例 2。它直接声称它无法用 Master Theorem 解决（我不同意）。

上面写着(See Exercise 4.6-2 for a solution.)。这个练习是案例 3 的证明......（第 3 版）