计算给定总和为零的所有连续子数组

Posted 2023-02-19

【中文标题】计算给定总和为零的所有连续子数组

【英文标题】：Counting all contiguous sub-arrays given sum zero

【发布时间】：2014-12-19 09:28:15

【问题描述】：

给定长度为 n 的随机数（正数和负数）数组，我想要总和为零的连续子数组。

示例： 假设我有数组a=1, -1 ,2 , -2, 6, -6，输出将是6，因为子数组如下：

1 -1 & 2 -2 & 6 -6 & 1 -1 2 -2 & 2 -2 6 -6 & 1 -1 2 -2 6 -6

我知道强力解 O(n^2)，我想要任何其他解 O(n) 或 O(n log n)？

【问题讨论】：

我不认为contiguous sub-arrays sum 问题有O(n), or O(n log n) 解决方案..

由于可能的子数组的总数是 O(n^2)，我怀疑你会想出一个比这更好的通用算法。如果你这样做，它必须是一种不仅仅枚举子数组的方法。考虑这个困难的情况：6,0,0,...0,0,-6。

考虑 0, 0, ... 0, 0 ，现在所有的总和都为零，你必须输出很多东西。

仅供参考：我认为@DavidEisenstat 证明我错了，如下。

【参考方案1】：

设数组为 a1, ..., an。令 s0, ..., sn 为 sj = a1 + ... + aj 定义的前缀和（并且 s0 = 0）。从 i 到 j 的子数组的和是 sj - si-1。对于 O(n)/O(n log n) 时间算法，使用映射计算前缀和中每个数字的出现次数。求和 k 为这张地图的值中的 k 选择 2。

例如，如果我们有你的数组

1 -1 2 -2 6 -6

那么前缀和是

0 1 0 2 0 6 0

计数是

0: 4
1: 1
2: 1
3: 1

输出是 4 选择 2 + 1 选择 2 + 1 选择 2 + 1 选择 2 = 6（其中 k 选择 2 = k(k-1)/2）。

在 Python 中：

def countsumzero(lst):
    prefixsums = [0]
    for x in lst:
        prefixsums.append(prefixsums[-1] + x)
    freq = 
    for y in prefixsums:
        if y in freq:
            freq[y] += 1
        else:
            freq[y] = 1
    return sum(v*(v-1) // 2 for v in freq.values())

【讨论】：

+1：哇，太好了！我认为没有办法将它们全部列举出来，但这似乎确实有效。

我不明白得到前缀和之后的下一步是什么？

@DavidEisenstat 我不明白 sum(v*(v-1) // 2 for v in freq.values()) 背后的原因

一切正常。但是最后一行是什么“输出是 4 选择 2 + 1 选择 2 + 1 选择 2 + 1 选择 2 = 6（其中 k 选择 2 = k(k- 1)/2)。”意思是。这个不清楚。