欧几里得算法解决 RR' - NN' = 1. 使用蒙哥马利算法进行模幂运算以在 python 或 Petite Chez 方案中实现费马检验

Posted 2023-02-18

【中文标题】欧几里得算法解决 RR\' - NN\' = 1. 使用蒙哥马利算法进行模幂运算以在 python 或 Petite Chez 方案中实现费马检验

【英文标题】：Euclidean algorithm to solve RR' - NN' = 1. Modular exponentiation with Montgomery algorithm to implement Fermat test in python or Petite Chez scheme欧几里得算法解决 RR' - NN' = 1. 使用蒙哥马利算法进行模幂运算以在 python 或 Petite Chez 方案中实现费马检验

【发布时间】：2012-10-31 11:59:00

【问题描述】：

这是我在使用 Scheme 教授的入门编程课程中的个人挑战，但我对 Python 示例同样满意。

我已经在方案中实现了模幂的二进制方法如下：

(define (pow base expo modu)
  (if (zero? expo)
      1
      (if (even? expo)
          (mod (expt (pow base (/ expo 2) modu) 2) modu)
          (mod (* base (pow base (sub1 expo) modu)) modu))))

这是必要的，因为 Chez Scheme 没有任何类似于 python 的 pow (base expo modu) 的实现。

现在我正在尝试实现解决模乘的蒙哥马利方法。例如，我有：

Trying to solve:
    (a * b) % N
N = 79
a = 61
b = 5
R = 100
a' = (61 * 100) % 79 = 17
b' = (5 * 100) % 79 = 26
RR' - NN' = 1

我试图了解如何解决 RR' - NN' = 1。我意识到 R' 的答案应该是 64 而 N' 应该是 81，但不明白如何使用欧几里得算法得到这个答案。

【参考方案1】：

扩展欧几里得算法是：

(define (euclid x y)
  (let loop ((a 1) (b 0) (g x) (u 0) (v 1) (w y))
    (if (zero? w) (values a b g)
      (let ((q (quotient g w)))
        (loop u v w (- a (* q u)) (- b (* q v)) (- g (* q w)))))))

因此，在您的示例中，

> (euclid 79 100)
19
-15
1

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