可以使用 SKI 组合子表示 XOR 吗？

Posted 2023-05-08

【中文标题】可以使用 SKI 组合子表示 XOR 吗？

【英文标题】：Can XOR be expressed using SKI combinators?

【发布时间】：2016-09-04 07:14:11

【问题描述】：

我对 SKI-Combinators 有疑问。

XOR（异或）能否仅使用 S 和 K 组合子来表示？

我有

True = Cancel
False = (Swap Cancel)

在哪里

Cancel x y = K x y = x   
Swap: ff x y = S ff x y = ff y x

【问题讨论】：

I 可以表示为S K K。所以，如果你可以用SKI表达NOR，你可以用SK来表达。

它会中缀吗？括号怎么样？ （p.s 试了好几种方法都没有成功）谢谢！

假设您将逻辑连接词括在括号中，即NOR = (... some expression ...)： (1) NOR 不能表示为后缀运算符（如AND）--看到这个观察T T NOR = T，不管NOR是什么（但应该是F）； (2) NOR 不能表示为中缀运算符 -- F NOR F = F（但应该是T）

啊，当然！实际上我犯了一个巨大的错误，问错了问题！我的意思是问XOR而不是NOR！非常抱歉！

【参考方案1】：

布尔值

你的问题在细节上有点不清楚，但似乎你的意思是你有以下布尔表示：

T := K
F := S K

这是有效的，因为它意味着以下减少成立：

T t e => t
F t e => e

换句话说，b t e 可以解释为IF b THEN t ELSE e。

与IF _ THEN _ ELSE _ 进行异或

那么给定这个框架，我们如何实现异或呢？我们可以将 XOR 公式化为 IF 表达式：

xor x y := IF x THEN (not y) ELSE y = (IF x THEN not ELSE id) y

可以 eta 化简为

XOR x := IF x THEN not ELSE id = x not id

一些函数组合器

我们有id = SKK作为标准，not可以表示为flip，因为flip b t e = b e t = IF b THEN e ELSE t = IF (not b) THEN t ELSE e。 flip it self is quite involved 但可行

flip := S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)

现在我们只需要找到一种方法来编写一个函数，该函数接受x 并将其应用于NOT 和ID 这两个术语。要到达那里，我们首先要注意，如果我们设置

app := id

然后

app f x = (id f) x = f x

等等，

(flip app) x f = f x

我们快到了，因为到目前为止的一切都表明

((flip app) id) ((flip app) not x) = ((flip app) not x) id = (x not) id = x not id

最后一步是在x 上使最后一行无点。我们可以使用函数组合运算符来做到这一点：

((flip app) id) ((flip app) not x) = compose ((flip app) id) ((flip app) not) x

compose 的要求在哪里

compose f g x = f (g x)

我们可以通过设置得到

compose f g := S (K f) g

把它们放在一起

总而言之，我们得到了

xor := compose ((flip app) id) ((flip app) not)

或者，完全展开：

xor = S (K ((flip app) id)) ((flip app) not)
    = S (K ((flip app) (SKK))) ((flip app) flip)
    = S (K ((flip SKK) (SKK))) ((flip SKK) flip)
    = S (K (((S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)) SKK) (SKK))) (((S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)) SKK) (S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)))