如何在恒定时间内仅使用算术运算计算指数？

Posted 2023-04-14

【中文标题】如何在恒定时间内仅使用算术运算计算指数？

【英文标题】：How to calculate exponent using only arithmetic operations in constant time?

【发布时间】：2020-09-13 12:59:09

【问题描述】：

我正在尝试找到一种方法来遍历大小为 N 的整数数组，并将这些整数中的每一个乘以 128^((N-1) - i)，其中 N 是数组的长度，而 i是整数的索引，然后将所有这些结果加在一起。

例如，[1, 2, 3, 4] 的数组输入将返回 1 * (128^3) + 2 * (128^2) + 3 * (128^1) + 4 * (128^ 0).

我的算法需要在 O(N) 时间内运行，但指数运算很昂贵，例如，2^3 需要三个运算。所以，我需要找到一种方法来在 O(1) 时间内对数组中的每个整数进行运算，只使用算术运算（-、+、*、/、%）。我能想到的最明显（不正确）的方法是将每个整数（N-i）简单地相乘，但这并不需要恒定的时间。我也在考虑通过平方来使用求幂，但这需要 log_2(N-i) 时间来对每个整数进行运算，这不是恒定的。

【参考方案1】：

128 是 2^7，将一个数字乘以 128^k 会将其二进制表示左移 7*k 个位置。

1 * (128^3) + 2 * (128^2) + 3 * (128^1) + 4 * (128^0)
= 1000000000000000000000 + 1000000000000000 + 110000000 + 100 

【参考方案2】：

回答标题问题：有可能证明，在这些操作的数量不变的情况下，您无法使数字足够大以容纳足够大的指数。

要回答基本问题：您可以使用有时归因于霍纳的多项式评估方法：((1 * 128 + 2) * 128 + 3) * 128 + 4。请注意，除非您正在修改某些东西，否则操纵 bignums 仍然会花费您 Õ(n²) 时间。

如果您确实在使用 bignums，那么假设 bignum 乘法比学校方法运行得更快，那么有一个更复杂的分而治之的方法应该更快。这个想法是将输入分成两半，使用递归分别评估下半部分和上半部分，然后将它们放在一起。在您的示例中，这看起来像

(1 * 128 + 2) * 128^2 + (3 * 128 + 4),

我们通过重复平方计算术语128^2（即128^(n/2)）。由于我们有循环，操作计数仍然是 O(n)

T(n) = 2 T(n/2) + O(log n),

属于Case 1。在实践中，无论特定实现具有何种渐近复杂度，大乘法都将控制运行时间。