最大子序列和

Posted 2023-02-16

【中文标题】最大子序列和

【英文标题】：Maximum Subsequence Sum

【发布时间】：2019-10-28 16:21:30

【问题描述】：

给定一个整数数组和一个阈值，确定数组中小于或等于阈值的任何子序列的最大和。对于除最多 15 个元素之外的所有元素，array[i] >= 2*array[j] 或 array[j] >=2*array[i] 其中j!=i。

threshold最大可达10^17，数组长度最大可达60，array[i]最大可达10^16。

这里threshold太高了，不能用普通的背包法解决。我尝试将这个数组分成三部分，然后通过回溯通过蛮力获取可能总和的列表，然后合并三个列表以查找结果。但我认为可能有更优化的方式来做到这一点。

【问题讨论】：

欢迎来到 ***！从您的问题看来，您已经有了一些工作代码；请将其添加到您的问题中，以便人们可以更轻松地提供帮助。此外，这似乎是一个优化问题，而不是关于错误的问题；这类问题最好在Code Review SE site

上提出

但您不必创建一个数组来正确存储可用的总和（这意味着“存储的最大总和的大小”）？您是否尝试将总和存储到地图/集合中？

我们可以将 sum 存储在 set 或 map 中，但可能有 2^(length of array) sums 。这种复杂性等于蛮力解决方案。

【参考方案1】：

这个问题已经过精心设置，所以所有常用方法都会用完空间。您必须使用提示。

第一步，数组大小降序排列，分成最多15个“奇怪的”和一个元素链，如b1 >= 2*b2、b2 >= 2*b3等。

您可以通过将最大的放入您的链中，然后将奇怪的放入奇怪的数组中，直到找到一半大小，然后将其添加到链中，将奇怪的放入奇怪的数组中，依此类推。

p>

现在，对于最多 32768 个奇怪子集的每一个，尝试找出其余子集的哪个子集最接近您。但是，您可以使用以下观察。对于您可以选择包含的任何元素，要么它太大而无法包含，要么必须包含它。 （因为如果你不包括它，那么所有其余的加在一起会给你一个较小的数字。）这会给你最多 45 个决策点来考虑。

换句话说

for each subset of weird ones:
    for each element of the chain
        If we can add this element:
            Add it to the set we are looking at
    if sum(this set) is best so far, improve our max
return the best found.

【讨论】：

但是这个解决方案的复杂性将等于暴力解决方案。我仍然无法理解这 15 个元素有什么不同。你能帮忙吗？

@NavneetSachan 不，要少得多。复杂度为O(2^a * b)，其中a 是异常数字的数量，b 是链的长度。原因是对于 15 个给定的子集，您只通过链一次，然后获得最佳结果。您不会从链中获得组合爆炸式的选项。

@btilly 在您的解决方案中步骤 1 对数组进行排序后，您是否使用条件 b1 >= 2*b2, b2 >= 2*b3 构建大小为 15 的子序列。如果您可以通过示例详细说明该步骤，这对您理解该方法有很大帮助，这就是您正在尝试的吗

@Arpit 我添加了更多解释。

@btilly 谢谢！