四元数到达万向节锁

Posted 2023-04-12

【中文标题】四元数到达万向节锁

【英文标题】：Quaternion reaching gimbal lock

【发布时间】：2015-04-30 20:33:47

【问题描述】：

为了在执行旋转时避免角度锁定，我尝试切换到四元数。不知何故，我仍然设法达到云台锁定。

我不确定这是因为我实现了数学还是设计错误，所以请指出我是否应该改变我的对象坐标方法。

我的每个对象都有一个 X、Y、Z 值和一个俯仰、偏航、滚动值。 当我更改旋转值时，对象会根据上述信息重新计算其顶点。这个逻辑如下：

    // vertex array
    vertices[x] -= /*Offset by origin point*/;

    // Quat.'s representing rotation around xyz axes
    Quaternion q1 = Quaternion(glm::vec3(1,0,0),pitch);
    Quaternion q2 = Quaternion(glm::vec3(0,1,0),yaw); 
    Quaternion q3 = Quaternion(glm::vec3(0,0,1),roll); 

    // total rotation
    Quaternion TotalRot = ( (q3 * q2) * (q1) ); 

    // conversion of original coordinates to quaternion
    Quaternion Point1 = Quaternion(0, vertices[x].x(), vertices[x].y(), vertices[x].z()); 

    // resulting rotated point
    Quaternion Point2 = Quaternion( (TotalRot * Point1) * TotalRot.inverse() );

    // placing new point back into vertices array
    vertices[x] = QVector3D(round(Point2.v.x),round(Point2.v.y),round(Point2.v.z));
    vertices[x]+= /*Undo origin point offset*/;

"vertices[]" 是对象的顶点数组。上面注释掉的原点偏移只是为了使对象围绕正确的原点旋转，因此它相对于 0,0,0 偏移，因为围绕该点发生旋转（对吗？）。

我有我的问题的图形表示，我首先偏航 90，俯仰 45，然后滚动 -90，但滚动轴变得平行于俯仰轴：

编辑：

我尝试将这 3 个轴四元数相乘，然后乘以 4x4 矩阵，然后乘以我的​​顶点，但我仍然万向节锁定/到达奇点！

    Quaternion q1 = (1,0,0,pitch);
    Quaternion q2 = (0,1,0,yaw);
    Quaternion q3 = (0,0,1,roll);
    Quaternion qtot = (q1*q2)*q3;
    Quaternion p1(0, vertices[x].x(), vertices[x].y(), vertices[x].z());
    QMatrix4x4 m;
    m.rotate(qtot);
    QVector4D v = m*p1;
    vertices[x] = QVector3D(v.x(),v.y(),v.z());

【参考方案1】：

您的问题是，即使您使用四元数，您仍然存储三个俯仰、偏航和滚动值，而不是四元数来表示对象的方向。

这里是你应该如何使用四元数进行旋转：

不是为每个对象存储 X、Y、Z、俯仰、偏航、滚动，而是存储 X、Y、Z、orientation 在每个对象中，orientation 是从初始值 (0, 0, 0, 1) 开始的四元数，表示没有旋转。为每个对象存储俯仰、偏航和滚动容易受到奇点（万向节锁定）的影响，因为添加小的变化时，中间旋转之一（例如，俯仰）可能导致对象平行于旋转轴（例如， yaw 轴），这样下一次围绕该轴的旋转可能会失败。

然后，当对象旋转时，确定该对象在该帧期间发生的俯仰、偏航和滚动（假设您的输入设备以该形式提供旋转），将其转换为四元数，然后将该四元数预乘到对象的orientation 四元数中。这种方法不太容易受到奇点的影响，因为预计每帧旋转的变化非常小。

不要在更改方向后直接修改对象的 X、Y 和 Z（您的 verticies 数组）。相反，当对象的方向发生变化时，创建一个新的旋转矩阵作为对象世界变换矩阵的一部分（以及缩放和平移；为获得最佳结果，将世界变换计算为translation * rotation * scaling）。

李>

每隔几帧，您应该对 orientation 四元数进行归一化，以避免由于舍入误差而导致的方向发生不希望的变化。

【参考方案2】：

如果您采用欧拉角表示并将其转换为四元数只是为了进行矢量旋转，那么您仍然只是使用欧拉角。只要您在任何地方都涉及欧拉角，万向节锁定问题就会一直存在。如果你想完全消除这个问题，你需要完全切换到四元数，并且永远不要在任何地方使用欧拉角表示。

执行此操作的基本方法是，您可以在计算的远端使用欧拉角（作为原始输入或作为最终输出），如果这对您更方便（例如，欧拉角通常更“人类可读”表示）。但是，对其他所有内容使用四元数（您可以偶尔转换为旋转矩阵，因为它们对于旋转矢量更有效），并且永远不要对任何“坏”旋转表示（欧拉角、轴角等）进行中间转换.)。仅当您在所有计算中都坚持使用这两种表示时，四元数和旋转矩阵的“无万向节锁定”优势才适用。

所以，一方面，你有奇异的表示（“万向节锁”的正式术语是 singularity）：

欧拉角（任何种类，顺便说一下，其中有 12 个）；和 轴角。

另一方面，你有无奇点的表示：

四元数（更高效的内存和组合操作）；和 旋转矩阵（对向量应用旋转更有效）。

每当您使用奇异表示进行操作（例如将多个旋转组合在一起，或移动旋转对象）时，您将不得不担心每次计算中的奇异性。当您使用无奇点表示进行相同的操作时，您不必担心（但您必须担心约束，这是四元数的单位范数约束和旋转矩阵的正确正交性）。当然，任何时候你转换成或从单一表示形式转换，你都必须担心奇点。这就是为什么您应该只在计算的远端（进入或离开时）进行转换，否则在整个计算过程中坚持使用非奇异表示。

欧拉角的唯一好处是人类可读性，句号。

【讨论】：

那么，我应该在代码中的什么时候切换到旋转矩阵？在我将3个旋转的quats组合在一起之后？我真的不知道四元数旋转矩阵是什么样子的。

我对您发布的代码的更广泛上下文一无所知，但我想这在某种程度上涉及在计算机游戏中移动 3D 对象或类似的东西，也许通过物理计算或用户输入（例如，操纵杆）。如果是通过物理模拟，那么你应该用四元数来做这一切。如果它来自操纵杆输入之类的东西，那么该输入应该立即转换为四元数。您的对象不应将旋转存储为欧拉角（就像您对“roll”、“pitch”和“yaw”值所做的那样）。

我不完全理解，这让我很烦。我的对象有旋转值，因为它们的旋转可以随心所欲地改变。我脑子里有些东西没有点击

是的，但是对象的旋转应该直接存储为四元数，而不是俯仰滚动偏航值。当您说可以“一时兴起”改变轮换时……这是什么意思？通过用户输入？如果有，是什么样的？或者通过一些运动计算？ ...关键是您必须将欧拉角表示尽可能向后推（如果您需要它们）。

角度只是放入四元数，然后取角度a = a/360 * pi*2，用于确定四元数“w”分量w = cos(a/2)，旋转轴矢量v = n* sin(angle/2)我已经甚至尝试将每个轴的 quats 相乘，然后将其插入旋转矩阵，乘以我的向量。还是达到了“奇点”！我用一个例子编辑了我的开篇文章