将对象从一个坐标系旋转到另一个坐标系

Posted 2023-02-16

【中文标题】将对象从一个坐标系旋转到另一个坐标系

【英文标题】：Rotate object from one coordinate system to another

【发布时间】：2015-04-20 17:31:18

【问题描述】：

使用glm 库进行计算。我有一个网格位于轴所在的局部坐标系中：

meshUp =      glm::vec3(0, 1, 0);
meshForward = glm::vec3(0, 0, -1);
meshRight =   glm::vec3(1, 0, 0);

我需要一个矩阵，它将其顶点旋转到具有 3 个给定轴 fx 的任何其他新坐标系：

newUp =       glm::vec3(-0.85, 0.51, -0.08);
newForward =  glm::vec3(0.45, 0.65, -0.61);
newRight =    glm::vec3(-0.26, -0.56, -0.79);

无需平移，坐标系共享原点。我可以走到一半，像这样：

glm::vec3 rotationVecForUpAxis = glm::normalize(glm::cross(meshUp, newUp));
float rotationRadiansForUpAxis = acos(glm::dot(meshUp, newUp));

glm::mat4 rotationMatrix = glm::rotate(glm::mat4(), 
                                       rotationRadiansForUpAxis,
                                       rotationVecForUpAxis);

这可以工作并旋转网格，因此它的上轴与newUp 轴对齐。但是，网格仍然需要围绕newUp 轴旋转，然后网格的meshForward 轴与newForward 轴对齐。

有人知道怎么做吗？

【问题讨论】：

您可能对基矩阵的变化感兴趣：math.hmc.edu/calculus/tutorials/changebasis。

【参考方案1】：

你可以查一下数学。但只是为了好玩，我将在这里推导它。

假设在原始坐标系中表示的新基向量是：

     [ xnx ]         [ ynx ]         [ znx ]
xn = [ xny ]    yn = [ yny ]    zn = [ zny ]
     [ xnz ]         [ ynz ]         [ znz ]

您正在寻找将这些向量映射到新坐标系中的基向量的矩阵M：

    [ xnx ] = [ 1 ]        [ ynx ] = [ 0 ]        [ znx ] = [ 0 ]
M * [ xny ] = [ 0 ]    M * [ yny ] = [ 1 ]    M * [ zny ] = [ 0 ]
    [ xnz ] = [ 0 ]        [ ynz ] = [ 0 ]        [ znz ] = [ 1 ]

以矩阵形式写出：

    [ xnx  ynx  znx ] = [ 1  0  0 ]
M * [ xny  yny  zny ] = [ 0  1  0 ]
    [ xnz  ynz  znz ] = [ 0  0  1 ]

这反过来又给M：

             [ xnx  ynx  znx ]
M = inverse( [ xny  yny  zny ] )
             [ xnz  ynz  znz ]

换句话说，矩阵是具有新基向量作为其列的矩阵的逆矩阵。

对于旋转，这变得特别容易。旋转矩阵的逆矩阵是矩阵的转置。所以M 是以新的基向量为行的矩阵：

    [ xnx  xny  xnz ]
M = [ ynx  yny  ynz ]
    [ znx  zny  znz ]

有了这个，你需要得到你的旋转矩阵是建立一个矩阵，它的行是新的基向量的值。例如，如果使用newRight 作为 x 轴，newUp 作为 y 轴，newForward 作为 z 轴，则变换矩阵为：

[ newRight.x    newRight.y    newRight.z   ]
[ newUp.x       newUp.y       newUp.z      ]
[ newForward.x  newForward.y  newForward.z ]

在构建矩阵时，请记住 OpenGL 的矩阵通常按列主要顺序存储。

【讨论】：

非常感谢您的回答，它工作得很好，而且比我前进的方向简单得多！

很好的答案谢谢，对于尚未服用 lin-alg 的人来说非常容易理解！