人坐在圆桌旁有多少种不同的可能方式？

Posted 2023-03-31

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【中文标题】人坐在圆桌旁有多少种不同的可能方式？【英文标题】：How many different possible ways can persons be seated in a round table? 【发布时间】：2011-11-09 03:59:31 【问题描述】：

我正在开发一种算法，并在得出结论之前研究最大迭代次数的可能性。

在现实世界中，它类似于古典圆桌座位问题。你能告诉我n人在圆桌会议上不重复就坐的最大方式吗？

谢谢

【问题讨论】：

【参考方案1】：

让我们追溯一下这个问题的解决方案。

首先，让我们看看有多少种方法可以将 n 个人排成一行。我们可以选择将 n 个不同的人排在队伍的最前面。在剩下的 n - 1 人中，其中任何 n - 1 人都可以放在第二位。在剩下的 n - 2 个中，其中任何 n - 2 个都可以放在第三个位置，等等。更一般地，我们得到公式

排列数 = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 1 = n！

所以有 n!将人员排列成一行的不同方式。更一般地说，有 n!对 n 个独特元素重新排序的不同方法。

现在，当我们将人员安排在一个环中时会发生什么？对于每个线性排列，我们可以通过连接两端将该排列转换为环形排列。比如三个人，排成一行的方式有六种：

这些映射到以下环：

           1
1 2 3  -> / \
         3---2

           1
1 3 2  -> / \
         2---3

           2
2 1 3  -> / \
         3---1

           2
2 3 1  -> / \
         1---3

           3
3 1 2  -> / \
         2---1

           3
3 2 1  -> / \
         1---2

但是，我们不能由此得出 n! 中的座位安排数量！因为我们在这里多次创建了相同的座位安排。作为一个技巧，让我们假设我们总是写出循环，以便 1 位于循环的顶部。然后我们生成了以下循环：

           1
1 2 3  -> / \
         3---2

           1
1 3 2  -> / \
         2---3

           1
2 1 3  -> / \
         2---3

           1
2 3 1  -> / \
         3---2

           1
3 1 2  -> / \
         3---2

           1
3 2 1  -> / \
         2---3

请注意，我们生成了以下内容：

   1              1
  / \   x3       / \   x3
 2---3          3---2

所以真的，只有两种不同的安排；我们刚刚生成了它们中的每一个。

这样做的原因是，由于环没有明确的起点和终点，我们最终会为每个不同的排列生成多次旋转。特别是，如果有 n 个人需要坐下，我们最终会生成 n 个相同轮换的不同副本，每个不同的客人都在顶部。因此，为了获得客人的总数，对于每个不同的戒指，我们需要忽略除其中一个之外的所有客人。由于每个环有 n 个不同的副本，这意味着总数由下式给出