mod,prime -> 逆可能

Posted 2023-02-16

【中文标题】mod,prime -> 逆可能

【英文标题】：mod,prime -> inverse possible

【发布时间】：2010-05-19 20:11:14

【问题描述】：

我想知道是否可以执行以下操作：

我们有：

X 是 N-primes 的产物，因此我认为是唯一的。 C 是一个常数。我们可以保证C 是一个数字，它是否是N-primes 的一部分。哪个效果最好。 X mod C = Z

我们有Z 和C，我们知道X 是N-primes 的产物，其中N 受到限制，比如说前100 个素数。

无论如何我们可以找回X吗？

【问题讨论】：

听起来像是 MathOverflow 的工作。

这是一个网站。我不确定这有多复杂，但请注意，mathoverflow 仅适用于研究级数学。

@warrenm：不，mathoverflow 不适用于基本数论。

【参考方案1】：

我不这么认为。因为 C 不是 X 的一部分，所以在执行 X mod C 操作时会丢失信息。此外，mod 只返回操作的一部分，需要 div 来获取结果的另一部分。

示例：(3*5) % 7 = 1。因为您丢失了信息，所以如果没有直接的 div 部分，我看不到任何从 1 和 7 恢复到 15 的方法。您必须开始将 7 相加，然后将余数相加并进行比较，以模拟方程中缺少的 div 部分。

【讨论】：

嗯，可能有用吗？是的，这需要时间，但你认为会有误报吗？

误报？好吧，从技术上讲，您最终会得到一堆值，因为 X 的值是未知的。在 (7*13) % 8 = 3 的情况下，Z 为 3，C 为 8。但是，如果您尝试仅使用这两个数字和您创建的有限素数列表来查找 X，请考虑 (5 *7) % 8. X = 5*7 = 35 那里，但结果还是一样。换句话说，当无法确定 X 是什么时，你永远不会有一个 X 值。相反，您最终会得到一个 X % 8 = 3 的列表，例如 35 (5*7)、91 (7*13)、299 (13*23) 等。

问题恰恰相反，你没有以 X 开头，所以没有什么可比较的 - 只是 X 可能是数字的线性列表。

【参考方案2】：

没有。这是一个反例：

假设 X = 105 (= 3x5x7)。

取 C = 13 使得 X mod C = Z = 1。

但是 X = 118 ( = 2x59 ) 也给出 Z = 1 和 C = 13。

【讨论】：

这不是反例。他有等式X mod C = Z，他想找到X，知道它是N 素数的a 乘积。为什么解决方案必须是唯一的？

@IVlad：对我来说，问题的措辞似乎很清楚，X 有一个明确的原始值。

@IVlad：“为什么解决方案必须是唯一的？”这就是我读到的“找回X”的意思。与说“找到所有可能的 X”相反。

嗯，我认为这个问题可以双向解释。他说“X 是N 唯一素数的产物”，所以我认为他想要任何适合的解决方案。但是，“返回X”确实暗示了X 的原始值。

同意，我认为这个问题有点不清楚。总的来说，“逆”可能意味着两种不同的事物：实际的逆函数（如果存在，即如果原始函数是双射的）与将共域的元素映射到它们在域中的原像（因此可以给出 0 个结果或大于 1，如“平方根是平方的倒数，4 的平方根是 +/- 2”）。所以有两个潜在的失败原因——因为没有 X，或者因为 X 不是唯一的。在不同的情况下，这些可能会或可能不会“算作”失败。

【参考方案3】：

您的问题很难理解，但也许您想了解一下Chinese Remainder Theorem。

【讨论】：

您能详细说明一下吗？我看不出 CRT 有什么帮助，因为你应该在那里取多个模数的结果。

对不起，Ja 英语不是我的强项！ :P "Michael" 基本上用他的例子更好地解释了我有 7 和 1 需要得到 15

【参考方案4】：

我们需要更多信息来为您解决这个问题。例如，如果您的意思是 X 是前 N 个素数的乘积，N

如果你的意思是 X 是前 100 个素数的某个子集的乘积，那就更难了。您本质上是在询问您是否可以判断 X 是否平滑给定 X mod Z。如果您能做到这一点，您可能能够改进最知名的整数分解算法，因为它们依赖于检测各种形式的平滑数.

当然，如果你能选择足够大的C，所以X mod C = X，那就很简单了。

有关平滑数字的讨论，请参阅 http://en.m.wikipedia.org/wiki/Smooth_number。

【参考方案5】：

我不确定我是否正确理解了你的问题，但如果给你 Z 和 C 并且你想计算 X。

如果 X mod C = Z，那么这意味着对于某个自然数 q，它成立 qC+Z = X，因为 q 是未知的，所以一般不可能精确计算 X，但是，存在一个无限集满足这个方程的数字。这也不奇怪。假设您有一些 X' 可能是解决方案，那么 X'' = X'+C 也是同样有效的解决方案。

如果我没记错的话，C 和 X 是否互质（即它们（不）有共同的质因数）是不相关的。但是，它会使您的解决方案集更小一些，因为如果 X 和 C 有共同的素因数，例如 p1,p2,...pn，那么每个有效解决方案也应该可以被 p1*p2*...*pn 整除。

【参考方案6】：

有无限的质数（因此N 质数的无限乘积），但只有C 的可能值X mod C。因此，以压倒性的概率，将有无限的有效X 满足X mod C = Z。

因此，如果您想确定其中哪一个是您的原始X，那么不，那是无法完成的。