排列数组中的行以消除增加的子序列

Posted 2023-03-27

【中文标题】排列数组中的行以消除增加的子序列

【英文标题】：Permuting rows in an array to eliminate increasing subsequences

【发布时间】：2011-11-07 03:25:12

【问题描述】：

以下问题取自Problems on Algorithms（问题653）：

给你一个 n x 2 的数字矩阵。找到一个 O(n log n) 算法，该算法对数组中的行进行置换，使得数组的任何一列都不包含长于 ⌈√n 的递增子序列（可能不包含连续的数组元素）。⌉

我不确定如何解决这个问题。我认为它可能会使用某种分而治之的循环，但我似乎找不到。

有人知道如何解决这个问题吗？

【问题讨论】：

长于n的平方根？

是《算法问题》一书中的653题

这里是本书pdf的链接：larc.unt.edu/ian/books/free/license.html

我认为它的分而治之我怀疑合并步骤也涉及一些数学。

【参考方案1】：

这是我的解决方案。

1) 根据第一个元素从大到小对行进行排序。

1 6    5 1
3 3 -\ 3 3
2 4 -/ 2 4
5 1    1 6

2）将其分成⌈√n⌉组，剩下的（不超过⌈√n⌉组）

5 1    5 1
3 3 -\ 3 3
2 4 -/ 
1 6    2 4
       1 6

3) 根据第二个元素从大到小对每组中的行进行排序

5 1    3 3
3 3    5 1
    -> 
2 4    1 6
1 6    2 4

正确性证明：

第 1 列的子序列增加只能在单个组中发生（大小为

第2列递增子序列中没有2个元素在同一组（不超过⌈√n⌉组）

【讨论】：

啊，太简单了。为什么我没看到？干得好。

大约 5 分钟。我开始思考如何解决 1xn 问题（单列）。

铅笔和纸总是有帮助的。