创建两个不均匀子问题的分治算法的时间复杂度。

Posted 2023-03-27

【中文标题】创建两个不均匀子问题的分治算法的时间复杂度。

【英文标题】：Time complexity for a divide and conquer algorithm that creates two uneven subproblems.

【发布时间】：2018-03-16 00:35:30

【问题描述】：

我正在使用一种非常具体的分治算法，该算法总是将具有 n 个元素的问题划分为具有 n/2 - 1 和 n/2 + 1 个元素的两个子问题。

我很确定时间复杂度仍然是 O(n log n)，但我想知道如何正式证明它。

【参考方案1】：

将每个递归级别的“有用工作”作为某个函数f(n)：

让我们观察当我们反复将其替换回自身时会发生什么。

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T(n) 条款：

发现模式了吗？

在递归深度m:

有递归调用T T 的每个参数中的第一项是 第二项的范围从到，步长为

因此，每个级别的所有T-terms 的总和由下式给出：

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f(n) 条款：

看起来很眼熟？

f(n) 项恰好在T(n) 项之后一个递归级别。因此，调整前面的表达式，我们得出以下总和：

但请注意，我们仅以 one f-term 开头，因此该总和具有无效的边缘情况。然而，这很容易纠正 - m = 1 的特殊情况结​​果只是 f(n)。

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结合上述内容，并对每个递归级别的f 项求和，我们得到T(n) 的（几乎）最终表达式：

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接下来我们需要找出T-terms 的第一个求和何时终止。假设那是n ≤ c。

last 直观地调用终止具有最大的参数，即调用：

因此最终表达式为：

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回到原来的问题，f(n)是什么？

你还没有说明这是什么，所以我只能假设每次调用完成的工作量是ϴ(n)（与数组长度成正比）。因此：

你的假设是正确的。

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请注意，即使我们有更一般的东西，例如

如果a 是某个不等于 1 的常数，我们将仍然得到ϴ(n log n) 作为结果，因为上述等式中的 项抵消了：

【讨论】：

我终于明白了。谢谢！如果完成的工作量是 log(n)，而不是 n（比如在有序数组中搜索）怎么办？我想复杂度下降到 O(n)。如何调整证明的最后部分？

将f(n) 替换为log(n)。然而，解决方案变得非常重要，因此我们可能需要做出一些近似来得出最终答案。