棘手的算法问题[重复]

Posted 2023-03-27

【中文标题】棘手的算法问题[重复]

【英文标题】：Tricky algorithm question [duplicate]

【发布时间】：2011-05-01 17:53:36

【问题描述】：

可能重复：Quickest way to find missing number in an array of numbers

输入：未排序数组 A[1,..,n] 包含范围 0,..,n 中除一个整数之外的所有整数

问题是在 O(n) 时间内确定丢失的整数。 A 的每个元素是 以二进制表示，唯一可用的操作是函数 bit(i, j)，它 返回 A[i] 的第 j 位的值，并花费常数时间。

有什么想法吗？我认为某种分而治之的算法是合适的，但我想不出我到底应该做什么。提前致谢！

【问题讨论】：

如果 bit(i,j) 是唯一可用的操作，您建议如何实现分治算法？

@A. Rex：你链接的可能的骗子对指令没有相同的限制，所以我认为它不一定是骗子。

这不是重复的。在这个问题中，您只能读取输入 A 的 n log n 位中的 O(n)。如果这是唯一的约束（即，如果除了 bit(i, j) 之外的操作）是免费的，那么您仍然可以解决它，使用分治算法，有点：算法的注释大小描述是计算偶数和奇数的数量，检查哪个计数与您从 0 得到的不匹配... n，并在丢弃最低位后递归输入的那一半。

这不是 ***.com/questions/2113795 的副本，正如 Reid 解释的那样，paxdiablo 的回答是错误的。 Reid 的算法是 O(n)，如果您在计数时保留一个列表，其中列出了每一半中的元素。

【参考方案1】：

1 和 n 之间的数字之和是一个数学属性，其中 n 是 n(n+1)/2。你可以看到10：

  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= (1+10) + (2+9) + (3+8) +(4+7) + (5+6)
= 11 + 11 + 11 + 11 + 11
= 55

因此，通过扩展，是从 0 到 n 的数字的总和，因为您只是将 0 添加到它。所以你要做的就是将所有数字相加并保持计数，然后使用该公式找出缺少的数字。

所以，类似：

count = 0
sum = 0
foreach num in list:
    sum = sum + num
    count = count + 1
missing = count * (count+1) / 2 - sum

使用bit(i,j) 获取数字很棘手，因此您必须单独提取这些位并将它们转换为实际数字以进行求和。

【讨论】：

这会读取 A 的所有 n log n 位，因此需要 n log n 时间。

@Reid：不，这根本不是 n log n。您不能同时将 n 用于位数 和 整数数。整数中的位数是常量，因此它实际上是O(32n)（对于32 位数字），与O(n) 完全相同。

我很确定当 OP 写“整数”时，它们的意思是“整数”，而不是“小于 2^32 的整数”。否则，只有有限多个可能的输入，所以谈论渐近运行时根本没有意义。显然，实际数学整数的长度（以位为单位）不是恒定的。

我很确定整数意味着一个固定宽度的整数，即 32 位或 1024 位，而不是基于整数值的可变长度整数。那是因为这是一个编程问答网站，固定宽度架构的数量远远超过可变宽度架构的数量:-) 无论固定宽度是 32 还是任何其他常数，都无所谓，它仍然是一个常数。我可能是错的，但基于证据的优势，我对此表示怀疑。如果您想澄清，请随时质疑 OP。如果事实证明我错了，我会删除或编辑以修复。

【参考方案2】：

您可以使用 XOR 运算符，因为它比加法更快。由于您可以访问每个位，因此您将在此处进行按位异或。 这里要使用的原理是 (A XOR B XOR A ) = B

例如：(1 XOR 2 XOR 3) XOR (1 XOR 2) = 3

for i=0 to n

Total=Total XOR i


foreach element in A

Total=Total XOR element

【讨论】：

实际上，这很漂亮，+1。您不能确定 XOR 会比加法更快，但它是对使用 XOR 的二合一/一合一（例如，91 91 82 82 73 64 64 55 55）变体的巧妙修改找到单身人士。

Xor 永远不会比加法慢...为什么：此外还有一个结转位，需要一个全加器加一个步骤...在现代架构中使用并行加法器消除了它几乎相同的性能（xor 在此操作中使用少 1 个门）

1 到 n 的 XOR 有一个 O(1) 公式。 ***.com/questions/3932346/…。 XOR 还可以避免溢出问题。

【参考方案3】：

那么这是一个技巧问题，因为使用 bit 方法只需要为每个数字循环每个位，这意味着它将自动变为 O(n*j)，其中 j 是表示 n 的位数。

我认为 paxdiablo 已经知道了，假设您被允许使用不使用 bit 方法的解决方案。

【讨论】：

Neil，从技术上讲，这仍然是 O(n)，因为 j 是一个常数。

j 在实践中是恒定的，因为整数或 long 的长度始终相同，但是 j 的有效数字以 n*2 递增 1，其中 n > 0。更像 O(log n )。