均值舍入为零的子数组的数量

Posted 2023-03-24

【中文标题】均值舍入为零的子数组的数量

【英文标题】：Number of subarrays whose mean rounds to zero

【发布时间】：2020-12-31 16:47:27

【问题描述】：

你有一个整数数组。您必须找到子数组的数量，这意味着（这些元素的总和除以这些元素的数量）四舍五入到零。 我已经用 O(n^2) 时间解决了这个问题，但效率不够。有办法吗？

example:

[-1, 1, 5, 4]
subarrays which mean rounds to zero are: 
   [-1, 1] = 0 , [-1, 1, 5, -4] = 1/4 which rounds to zero

【参考方案1】：

表示由对（前缀总和，cnt）组成的新数组，其中第一个元素是前缀总和，第二个元素是元素个数，例如，

int[] arr = [-1, 1, 5 ,4]:
int[] narr = [(0, 0), (-1, 1), (0, 2), (5, 3), (9, 4)]

问题被转换为narr 中的(i, j) 计数对，其中i < j 和Math.abs(narr[j][0] - narr[i][0]) < narr[j][1] - narr[i][1] = j - i 进一步归结为：

narr[j][0] - j < narr[i][0] - i < narr[i][0] + i < narr[j][0] + j

所以问题进一步转换为以下问题：

对于一些区间：[[1, 2], [-1, 0], ...]（最初为空），给定一个区间 [x, y]，计算有多少区间完全在[x, y]，然后我们添加这个区间，并重复这个过程总共 N 次。 （如何管理区间的数据结构成为关键问题）

如果我们只是暴力迭代每个间隔并进行验证，查询时间复杂度为 O(N)，插入时间复杂度为 O(1)，总共 O(N^2)

如果我们使用平方分解，查询时间复杂度是O(sqrt(N))，插入时间复杂度是O(1)，总共是O(Nsqrt(N))

如果我们使用treap（使用first或者second作为优先级，使用另一个作为key），我们可以达到的平均总时间复杂度是O(NlgN)

如果你不了解平方分解或treap的技术，我建议你先阅读几篇文章。

更新：

经过 30 分钟的仔细思考，我发现 treap 无法达到 O(NlgN) 平均时间复杂度。 相反，我们可以使用 2d segment tree 来实现 O(NlgNlgN)： 请改为阅读这篇文章： 2d segment tree

【讨论】：

非常感谢您的回复。您是否可以使用 treap 方法帮助我编写代码？我不太清楚如何实现