计划递归解决问题的最佳方法是啥？

Posted 2023-03-16

【中文标题】计划递归解决问题的最佳方法是啥？

【英文标题】：What is the best way to plan a recursive solution to a problem?计划递归解决问题的最佳方法是什么？

【发布时间】：2011-11-10 23:20:15

【问题描述】：

我正在学习递归。我已经使用递归解决了一些其他问题，例如创建二叉树、河内塔等。所以，我了解递归是什么，但我发现自己难以规划和实施正确的递归解决方案。

对于规划、思考或实施问题的递归解决方案，是否有任何一般性提示？

【参考方案1】：

基本上，只考虑两件事：

能否用相同（或相似）的问题来表达问题，但使用“更简单”的参数？ 是否有一个明确的点可以让这个更简单的问题变得微不足道？

您会发现这些属性适用于所有经典递归算法，例如二分搜索、树遍历、排序/合并、阶乘计算、最大公分母计算等等^(a)。

如果满足这两个条件，则问题可能适合递归解决方案。

我说“可能”是因为即使是表现出这些属性的问题也并不总是适合递归，例如：

// Add two unsigned inetegers.
unsigned int add (unsigned int a, unsigned int b) 
    if (a == 0)
        return b;
    return add (a - 1, b + 1);

虽然这是一个有点有效的递归解决方案（尽管有点做作），但当您的初始 a 很大时，您几乎肯定会用完堆栈空间。换言之，现实世界会影响数学思想的纯洁性。

^(a) 你可能想知道为什么上面的add 和 GCD 或阶乘计算之间存在差异。答案通常在于每次递归调用减少“搜索空间”（所有可能结果的列表）的速度。

例如，遍历平衡二叉树将在每次调用时消除大约一半的剩余搜索空间。 GCD 计算执行模运算，这也可以相当快地减少搜索空间。

但是，add 函数根本不会很快减少搜索空间，这就是它不适合递归的原因。

阶乘也不会很快减少搜索空间，因为它会从每次递归调用的参数中减去一个（类似于add）。

但是人们仍然使用它，可能是因为在递归调用的数量产生影响之前，您将用完阶乘 long 的存储空间（64 位无符号整数只能保持20！）。

【讨论】：

我认为您对“更简单的参数”的描述没有抓住重点。更好的描述可能是参数应该降低计算的复杂性。这很好地导致了您的第二点......当复杂性变得“微不足道”时，答案就很清楚（通常是硬编码）并且消除了递归的需要，从而结束了递归调用。

这很好地解释了使用递归时的内存使用情况。 +1。

【参考方案2】：

通常，您需要完成几项任务来设计递归算法。我将以河内塔问题为例，因为它非常符合要求。

首先，确保您可以根据递归定义来查看问题本身。具体来说，您想确定如何将整个问题描述为对类似的、较小的子问题加上固定的工作量进行操作。

对于河内的塔问题，移动大小为 N 的塔与移动 N-1 的塔和单个圆盘基本相同。但是，在不知道解决方案的情况下，这并不是很明显，哪个磁盘应该是 N+1；无论是顶部还是底部。我们需要更多信息。

下一部分，实际上是上述问题的一个子集，是考虑终止条件；你必须知道什么时候停止递归。如果您在算法中错过了这一步，您最终会陷入无限循环或超出您的数据结构。

移动大小为 1 的塔与移动单个磁盘完全一样；没有理由递归。换句话说，移动一个大小为零的塔就等于什么都不做，你可以完全跳过它。

最后；您必须确定问题定义的不变量，以指导您实际工作的方式。它基本上归结为找到您的算法必须做的事情，以便较小的子问题确实看起来像较大的问题，然后仅在这些条件下递归。

河内塔的具体要求是不允许任何圆盘放在较小的圆盘上。换句话说，您不能将 塔 放置在比该塔的底部磁盘更小的磁盘上。关于这个问题的更多推理将导致我们得出这样的结论：如果我们在中间的某个点拆分塔，并将拆分下方的磁盘重新排列为任意但有效的排列，那么拆分上方的塔可以在顶部这些重新排列的磁盘中的任何一个，因为每个磁盘都必须大于拆分时的磁盘。不能对拆分上方的磁盘进行重新排列的类似情况；顶部磁盘上根本不允许任何内容。

总的来说，这意味着我们必须自下而上；在底部盘处划分塔。这也意味着退化的情况，n=1，正在移动顶部的磁盘。因此递归算法是递归移动N-1个磁盘到一边，将第n个磁盘移动到目的地，然后将N-1个磁盘移动到目的地。

如果这还不够指导，那么您可能想问一个更具体的问题

【参考方案3】：

递归就是在解决问题的过程中识别“自相似性”。递归的一个典型例子，计算一个正整数的阶乘很好地展示了这个过程。

由于阶乘，n!，被定义为n * (n-1) * (n-2) ... * 1，你应该可以看到

n! = n * (n-1)!

换句话说，n 的阶乘是“(n-1) 的阶乘的 n 倍”。

如果您能理解该语句，以及它如何表现出“自相似”行为，那么您就可以很好地解决递归问题。 编程 递归的关键是确定何时停止，而不是执行递归调用。在阶乘的情况下，当您尝试确定阶乘的数字为 1 时停止。结果被简单地定义为 1，因此您返回该值而不是返回递归函数调用的值。

因此，在考虑如何递归解决问题时，我的建议是尝试识别手头问题中的这种自相似性。如果您可以轻松识别这种相似性，那么该问题可能具有高效且优雅的递归解决方案。如果这种自相似性不明显，它可能更适合迭代方法。

【讨论】：

感谢您的建议！我理解基本条件的概念，但你解释得很好。

【参考方案4】：

一旦确定问题可以递归解决，最重要的事情之一就是确定递归算法的停止条件。一个简单的例子是阶乘的计算：你知道当你到达 0 或 1 时你应该停止（无论你选择什么），因此这应该是你在输入函数之前检查的第一件事，如果你不允许递归继续'不想以堆栈溢出异常结束：

public static int factorial(int n)

    if (n == 1)//I'm done
        return 1;
    return n * factorial(n - 1); //continue with the recursion

这几乎就是我的递归秘诀：停止条件是什么？将其作为输入递归函数后的第一条语句。