如何编写程序来生成排序决策树？

Posted 2023-03-12

【中文标题】如何编写程序来生成排序决策树？

【英文标题】：How can I write a program to generate a sorting decision tree?

【发布时间】：2010-11-29 09:05:05

【问题描述】：

在课堂上，我们得到了一个简单的决策树，用于对 3 个元素（a、b、c）进行排序。

_{（来源：brpreiss.com）}

看着这个，我觉得很有意义。我能够关注它。

但是，我现在必须为 4 个元素（a、b、c、d）制作决策树，并且叶子的数量刚刚达到 24 个。

我正在努力以一种有条不紊的方式接近决策树，这有助于我跟踪我想在每个分支上比较的元素。

什么是构建更大决策树的有条不紊的方法？如果我知道怎么做，我什至愿意编写一个程序来吐出可能的叶子结构。

【问题讨论】：

+1 表示图表。我刚刚在阅读有关决策树的内容，这对我很有帮助。

【参考方案1】：

Charles Forgy 已经描述了这种算法：参见Rete algorithm。 （对不起，WP中的文章肯定不是一个快速的答案，但它可能是一个好的开始）

【参考方案2】：

您可能想查看 Sorting Networks。我认为应该可以将给定数量的输入的最佳排序网络转换为决策树。

或者，您可以采用给定的排序算法并逐步执行它，在每次比较时创建一个新分支。

最后，您可以反过来执行此操作 - 例如，采用合并排序类型的方法：将所有 24 个可能的排序顺序放在树的底部。选择一个比较，并根据结果将叶子分成两组。对每个分支递归重复，直到每个分支只有一个叶子。

【参考方案3】：

一个简单的方法，在这种情况下，是扩展现有的树。深度 3 树最多可以对 2^3=8 不同的结果进行排序，这足以对 3 个元素进行排序，因为 3! = 6 和 6 <= 8。要对 4 个元素进行排序，您至少需要深度 5：4! <= 2^5。鉴于a、b 和c 已经按您现有的网络排序，我们可以构建两个新的最低级别来决定在哪里插入d。

假设x、y和z是排序的，那么x<y<z你可以使用这个网络在它的正确位置添加一个新元素d：

// note: read from right to left
d<x<y<z -[yes]- (d<x)? -[yes]-- (d<y) -
x<d<y<z -[no]-/               /
x<y<d<z -[yes]- (d<z)? -[no]-/
x<y<z<d -[no]-/

因此，您基本上可以使用现有树，将其复制 4 次，然后将每个当前叶替换为上述子树，在每种情况下，将 x、y 和 z 替换为 @987654339 的顺序@、b 和 c 在当前叶子中。

请注意，虽然这适用于您的特定情况，并且会生成最小树，但附加子树以插入“下一个元素”不会为其他情况生成最小高度排序树。例如，要对 a,b,c,d,e 进行排序，最小高度将为 7，如 5! = 120 和 7^2 = 128。但是，将e 放置到已排序的 4 个元素列表中的子树本身至少需要深度 3（因为有 5 个可能的插入位置） - 所以我们可以轻松构建 5+3 = 8-depth树，但需要另一种方法来构建有效的深度为 7 的树。

对于一般性讨论，Nick's answer 中关于排序网络的链接非常相​​关：您可以通过从左到右读取网络来从网络构建排序树，为每个连接创建一个节点，然后，将网络的两种变体视为子网络：一种已进行交换（例如，a<b 为假，所以现在a 和b 被交换），另一种不需要它（因为@987654350 @)。排序决策树的深度是它的排序网络的深度，根据那个页面，虽然有一种算法可以生成对数深度树/网络（AKS），但绝不简单.