如何消除由于 scipy/numpy fft 中的零填充而产生的边界效应？

Posted 2023-03-12

【中文标题】如何消除由于 scipy/numpy fft 中的零填充而产生的边界效应？

【英文标题】：How to remove the boundary effects arising due to zero padding in scipy/numpy fft?

【发布时间】：2012-04-17 20:43:56

【问题描述】：

我编写了一个 Python 代码来使用 Weierstrass 变换平滑给定信号，这基本上是归一化高斯与信号的卷积。

代码如下：

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#Importing relevant libraries  
from __future__ import division  
from scipy.signal import fftconvolve   
import numpy as np 

def smooth_func(sig, x, t= 0.002):   
    N = len(x)   
    x1 = x[-1]   
    x0 = x[0]    


# defining a new array y which is symmetric around zero, to make the gaussian symmetric.  
    y = np.linspace(-(x1-x0)/2, (x1-x0)/2, N)   
    #gaussian centered around zero.  
    gaus = np.exp(-y**(2)/t)     

#using fftconvolve to speed up the convolution; gaus.sum() is the normalization constant.  
    return fftconvolve(sig, gaus/gaus.sum(), mode='same')

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如果我为阶跃函数运行此代码，它会平滑拐角，但在边界处它会解释另一个拐角并对其进行平滑处理，因此会在边界处产生不必要的行为。我用下面链接中显示的图来解释这一点。Boundary effects

如果我们直接积分求卷积就不会出现这个问题。因此问题不在于 Weierstras 变换，因此问题在于 scipy 的 fftconvolve 函数。

要了解为什么会出现这个问题，我们首先需要了解 fftconvolve 在 scipy 中的工作原理。 fftconvolve 函数基本上是利用卷积定理来加快计算速度。 简而言之，它说： 卷积(int1,int2)=ifft(fft(int1)*fft(int2)) 如果我们直接应用这个定理，我们不会得到想要的结果。为了得到想要的结果，我们需要对一个大小为 max(int1,int2) 的数组进行 fft。但这会导致不希望的边界效应。这是因为在 fft 代码中，如果 size(int) 大于大小（在其上采用 fft），它会将输入填充为零，然后采用 fft。这种零填充正是造成不希望的边界效应的原因。

你能建议一种方法来消除这种边界效应吗？

我试图通过一个简单的技巧将其删除。平滑函数后，我将平滑信号的值与边界附近的原始信号进行比较，如果它们不匹配，我将平滑函数的值替换为该点的输入信号。 如下：

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i = 0 
eps=1e-3
while abs(smooth[i]-sig[i])> eps: #compairing the signals on the left boundary
    smooth[i] = sig[i]
    i = i + 1
j = -1

while abs(smooth[j]-sig[j])> eps: # compairing on the right boundary.
    smooth[j] = sig[j]
    j = j - 1

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这个方法有个问题，因为使用了epsilon，smoothened函数有小跳，如下图：jumps in the smooth func

上面的方法可以做些改变来解决这个边界问题吗？

【问题讨论】：

欺骗math.stackexchange.com/q/127875/2206

【参考方案1】：

最好的方法可能是使用mode = 'valid'：

The output consists only of those elements that do not rely on the zero-padding.

除非您可以包装您的信号，或者正在处理的信号是一个较大信号的摘录（在这种情况下：处理完整信号然后裁剪感兴趣的区域），否则在进行卷积时总是会有边缘效应。你必须选择你想如何处理它们。使用mode = valid 只是将它们裁剪掉，这是一个非常好的解决方案。如果您知道信号始终是“阶梯状”的，则可以适当地扩展已处理信号的前端和末端。

【参考方案2】：

对称过滤器内核在末端产生什么取决于您假设数据超出末端的情况。

如果您不喜欢当前结果的外观（假设两端均为零），请尝试使用另一个假设来扩展数据，例如数据的反映或多项式回归延续。将两端的数据至少扩展过滤器内核长度的一半（除非您的扩展是零，这与非循环卷积所需的现有零填充一起免费提供）。然后在过滤后删除添加的结尾扩展，看看您是否喜欢假设的外观。如果不是，请尝试另一个假设。或者更好的是，如果有的话，使用超出范围的实际数据。

【讨论】：

谢谢，您的回复开启了一系列可能性。