可靠地检索分位数函数的倒数

Posted 2023-03-12

【中文标题】可靠地检索分位数函数的倒数

【英文标题】：Reliably retrieve the reverse of the quantile function

【发布时间】：2019-11-05 13:05:54

【问题描述】：

我已阅读其他有关获取分位数“反向”的帖子（例如here） - 即获取与一系列值中的某个值相对应的百分位数。

但是，对于相同的数据系列，答案并没有给出与分位数相同的值。

我还研究了分位数提供了 9 种不同的算法来计算百分位数。

所以我的问题是：有没有可靠的方法来获得分位数函数的反转？ ecdf 不接受“类型”参数，因此似乎无法确保它们使用相同的方法。

可重现的例子：

# Simple data
x = 0:10
pcntile = 0.5


# Get value corresponding to a percentile using quantile
(pcntile_value <- quantile(x, pcntile))     

# 50%    
# 5               # returns 5 as expected for 50% percentile     



# Get percentile corresponding to a value using ecdf function
(pcntile_rev <- ecdf(x)(5))                


# [1] 0.5454545   #returns 54.54% as the percentile for the value 5


# Not the same answer as quantile produces

【问题讨论】：

***.com/questions/35927956/quantile-vs-ecdf-results 应该会为您提供答案。

【参考方案1】：

链接中的答案非常好，但也许有帮助，看看ecdf 只需运行以下代码：

# Simple data
x = 0:10
p0 = 0.5

# Get value corresponding to a percentile using quantile
sapply(c(1:7), function(i) quantile(x, p0, type = i))
# 50% 50% 50% 50% 50% 50% 50% 
# 5.0 5.0 5.0 4.5 5.0 5.0 5.0 

因此，这不是类型的问题。您可以使用调试单步执行该功能：

# Get percentile corresponding to a value using ecdf function
debug(ecdf)
my_ecdf <- ecdf(x)

关键是

rval <- approxfun(vals, cumsum(tabulate(match(x, vals)))/n, 
    method = "constant", yleft = 0, yright = 1, f = 0, ties = "ordered")

之后你可以检查

data.frame(x = vals, y = round(cumsum(tabulate(match(x, vals)))/n, 3), stringsAsFactors = FALSE)

当您除以n=11 时，结果并不令人惊讶。如前所述，对于理论，请查看其他答案。

顺便说一句，你也可以绘制函数

plot(my_ecdf)

关于您的评论。我认为这不是可靠性问题，而是如何定义“逆分布函数，如果它不存在”的问题：

一个很好的广义逆参考：Paul Embrechts，Marius Hofert：“A note on generalized inverses”，Math Meth Oper Res (2013) 77:423–432 DOI

【讨论】：

那么答案就是不能可靠地得到分位数函数的反函数吗？我按照你的回答，但它仍然导致分位数函数（第 50 个百分位数 = 5）与 ecdf 函数（5 是第 54.54 个百分位数）之间存在差异。

【参考方案2】：

ecdf 在文档中给出公式的结果。

x <- 0:10
Fn <- ecdf(x)

现在，Fn 对象是一个插值阶跃函数。

str(Fn)
#function (v)  
# - attr(*, "class")= chr [1:3] "ecdf" "stepfun" "function"
# - attr(*, "call")= language ecdf(x)

并且它保留了原始的x 值和对应的y 值。

environment(Fn)$x
# [1]  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10

environment(Fn)$y
# [1] 0.09090909 0.18181818 0.27272727 0.36363636 0.45454545 0.54545455
# [7] 0.63636364 0.72727273 0.81818182 0.90909091 1.00000000

后者与文档所说的用于计算它们的公式的结果完全相同。来自help('ecdf')：

对于观测值 x= (x1,x2, ... xn)，Fn 是 小于或等于 t 的观测值，即，

Fn(t) = #xi

我将使用seq_along，而不是1:length(x)。

seq_along(x)/length(x)
# [1] 0.09090909 0.18181818 0.27272727 0.36363636 0.45454545 0.54545455
# [7] 0.63636364 0.72727273 0.81818182 0.90909091 1.00000000
Fn(x)
# [1] 0.09090909 0.18181818 0.27272727 0.36363636 0.45454545 0.54545455
# [7] 0.63636364 0.72727273 0.81818182 0.90909091 1.00000000

【讨论】：

我在刚刚发布到 Christoph 的回答的评论中提出了同样的问题

@dave_in_newengland 我相信答案是肯定的，只有在极限情况下你会得到相同的值。 ECDF 是一个阶跃函数，每个区间的极值之间的值不一定对应自变量x 的值。在上面的例子中，Fn(5) == 0.54 但分位数是50%。这不是废话。