为啥无穷大 × 0 = NaN？

Posted 2023-03-11

【中文标题】为啥无穷大 × 0 = NaN？

【英文标题】：Why is Infinity × 0 = NaN?为什么无穷大 × 0 = NaN？

【发布时间】：2016-10-16 21:52:12

【问题描述】：

IEEE 754 将 1 / 0 的结果指定为 ∞（无穷大）。

但是，IEEE 754 然后将 0 × ∞ 的结果指定为 NaN。

这感觉反直觉：为什么 0 × ∞ 不是 0？

我们可以将 1 / 0 = ∞ 视为 1 / z 的极限，因为 z 趋于零

我们可以将 0 × ∞ = 0 视为 0 × z 的极限，因为 z 趋于 ∞。

为什么 IEEE 标准遵循直觉 1. 而不是 2.？

【问题讨论】：

因为无穷大不是一个具体的数字？

Infinity * 0 isn't so easily defined.

但是在Infinity / 0 的情况下，除以零是否优先于分子中发生的任何事情？ （我在这里不是在严格地争论数学。我只是在猜测语言作者的意图。）

Infinity is javascript 中的一个数字，至少按类型来说是这样，但它并不是一个具体的数字，它不是 7 或类似的东西，更多的是一个概念，“最大的数” 等等。当你将无穷大与任何正数或负数相乘时，你会得到正无穷或负无穷，因为它不能更大。当您将一个数字除以 Infinity 时，您会得到 0，因为它不能再小了。当您将 Infinity 与 0 相乘时，您会得到“不是数字”，因为有人认为这是合乎逻辑的做法，并将其放入规范中。

为什么不将 0*Infinity 视为 x*infinity 的极限，因为 x 趋于零？反过来说，这也很有意义。 0*Infinity 的问题，以及它应该是 NaN 的原因是，有可能为 0、Infinity 以及介于两者之间的任何东西想出一个案例。

【参考方案1】：

如果您不认为 IEEE 754 浮点零和无穷大的行为实际上是零或无穷大，则更容易理解它们的行为。

浮点零不仅代表实数零。它们还代表所有会舍入到小于最小次正规数的实数。这就是为什么签名为零的原因。如果它们实际上不是零，即使很小的数字也有符号。

同样，每个无穷大也代表所有具有相应符号的数字，这些数字会四舍五入到一个大小不适合有限范围的数字。

NaN 表示“没有实数结果”，例如 sqrt(-1)，或“没有线索”。

非常大的东西除以非常小的东西是非常非常大的，所以`Infinity / 0 == Infinity"。

非常大的东西乘以非常小的东西可能是任何东西，这取决于我们不知道的实际大小。由于结果可能是从非常小到非常大的任何值，NaN 是最合理的答案。

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虽然我认为以上是理解实际浮点行为的最佳方式，但在实数限制中也会出现类似的问题。

假设f(x) 趋于无穷，g(x) 趋于零，因为x 趋于无穷。很容易证明f(x)/g(x) 趋于无穷，正如x 趋于无穷。另一方面，如果没有更多关于函数的信息，就无法证明f(x)*g(x) 的极限。

【讨论】：

所以我们应该将 0 视为一个非常小的数量，而不是实际的 0，因为它是许多算术计算的结果，会发生算术下溢？这似乎是明智的！

我不同意这个答案。认为浮点数代表小范围的值是很多混乱的根源，我们不应该鼓励它。零正好代表零（这是 OP 没有问题的事实，否则他们不会接受 0 倍任何东西都应该如此容易地为零），无穷大在概念上表示超出所有实数的异常值（这是 OP 尚未接受的点)。

@PascalCuoq 在您的模型中，负零是什么，为什么存在？

@PascalCuoq 永远不要将浮点值与“==”进行比较是没有意义的，而且这个“规则”会在没有正当理由的情况下盲目重复，而不是求助于“小区间”模型，就我见过。据我所知，-0 的存在不仅仅是为了格式正交性的方便，而是通过有意识的设计：参见 Kahan 关于复杂函数中的分支切割的论文，-0 表示从下方接近零时的极限；也用于与无穷大的平滑交互，例如1/x 其中 x 为负数且下溢。不产生唯一标识binary64 不必要的数字对我来说似乎没问题？

我对浮点数的看法类似于物理学中的波/粒二元论：有时最好将 fp 数视为一个点，而其他时候最好将其视为间隔，取决于上下文。在处理三角函数的大参数时，库编写者不知道哪个上下文相关视图是合适的，因此需要在保守（点）方面犯错。至于 sqrt(-0)==0，我不记得是什么驱动了它，在“负半平面接近零（通过下溢）”心理模型下没有意义，但需要与 + 保持一致0==-0?