交替子序列的在线算法方法

Posted 2023-03-11

【中文标题】交替子序列的在线算法方法

【英文标题】：Online Algorithm approach for alternating subsequence

【发布时间】：2019-12-25 23:02:42

【问题描述】：

考虑一个整数序列A = a1, a2, a3, ... an。 A 的子序列 B 是从 AB = b1, b2, .... ,bn /strong> 通过删除一些元素但保持顺序。给定一个整数序列A，目标是计算一个交替子序列B，即一个序列b1, ... bn，使得对于所有i 在 2, 3, ... , m-1 中，如果 bi-1 bi+1 并且如果 b i-1 > bi 然后 bi

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考虑一个在线版本的问题，序列A是逐个元素给出的，每次都需要直接决定是否在子序列中包含下一个元素乙。是否有可能实现恒定的竞争比率（通过使用确定性在线算法）？要么给出一个达到恒定竞争比的在线算法，要么证明不可能找到这样的在线算法。

假设序列 [9,8,9,8,9,8, .... , 9,8,9,8,2,1,2,9,8,9, ... , 8,9 ,8,9,8,9]

我的论点： 该算法必须立即决定是否将传入的数字插入到子序列中。如果算法现在得到数字 1 然后 2 然后 2 它将最终确定它们是序列的一部分，因此非线性因子比 n-3 的最优解更差。

-> 没有恒定的竞争力！

这是一个适当的论证吗？

【参考方案1】：

如果我理解您的意思，您的论点是正确的，但您在示例中给出的顺序是错误的。例如，该算法可能会选择所有 9 和 8。 您可以稍微改变您的论点以使其更准确，例如考虑序列

3,4,3,4,3,4,......, 1/5,2/6,1/5,2/6,....

说明： 您以3,4,3,4,... 等开始序列，直到算法选择两个数字。如果它从来没有，它显然没有竞争力（它从n 中得到0/1） 如果算法选择了3，然后选择了4，则该算法接下来必须采用小于4 的数字。通过继续使用5,6,5,6,...，算法不能再取另一个数字。 如果算法选择使用4 然后是3，通过类似的共鸣，我们可以很容易地看到继续使用1,2,1,2,... 如何防止算法使用另一个数字。 因此，在任何情况下，对于每个 n，该算法都不能超过 2 数字，正如您所说，这不是一个恒定的竞争比率。

【讨论】：

感谢您的回复。我认为您的论点是基于在线对手模型。您更改 ALG live 的输入以使其足够糟糕。在线对手的竞争比率适用于不知情的对手。如果我们把对手变成一个健忘的对手，难道就不能有一个恒定的竞争比吗？在这种情况下是否足以表明对于任何对手模型都没有恒定比率？

这不是在线对手模型，而是您考虑的相同模型。由于算法是确定性的，攻击者“模拟”算法以查看它会选择哪些数字，然后攻击者将按照我描述的方式构建序列。

知道了，序列的顺序不是任何随机因素的一部分。在 ALG 开始之前，算法选择的数字已经很清楚了，因此在没有任何随机化的情况下，可以通过选择您的提及序列使确定性算法变得“无用”。