在 IEEE 754 32 位 base-2 浮点系统中可以编码多少个不同的值？ [复制]

Posted 2023-02-16

【中文标题】在 IEEE 754 32 位 base-2 浮点系统中可以编码多少个不同的值？ [复制]

【英文标题】：How many different values can be encoded in IEEE 754 32-bit base-2 floating-point system? [duplicate]

【发布时间】：2019-10-17 23:47:07

【问题描述】：

wikipedia page 声明“IEEE 754 32 位 base-2 浮点变量的最大值为 (2 − 2^−23) × 2^127 ≈ 3.4028235 × 10^38”。

在那个数字中，是否包括 +∞、-∞ 和 NaN？ “(2 − 2^−23)”中的 2 是什么？ 为什么 2^127 中有 127？

【问题讨论】：

***.com/a/12560672/270986 可能有用吗？但这听起来好像您将两个不同的东西混为一谈：（1）不同的可表示值（特定类型）的数量，这是您的标题所指的，以及（2）最大可表示的有限值，这是您的题体所指。你问的是哪一个？

可能重复：***.com/q/24369558/270986

【参考方案1】：

在那个数字中，是否包括 +∞、-∞ 和 NaN？

不，它们是特殊的“数字”

“(2 − 2^−23)”中的 2 是什么？

最大的尾数是 1.11111....111，这个值等于 2 − 2^−23。如果将其添加到 ULP (2^-23)，您将获得 2.0

为什么 2^127 中有 127？

这是基于单精度浮点数的编码方式。指数有8位编码，实际指数编码为数字的指数加127。最大的指数代码是 254（因为 255 用于 NaN），数字的最大指数是 254-127=127。

在所有 IEEE 754 代码中，如果指数编码在 k 位上，则最大指数为 2^(2^(k-1)-1)

【参考方案2】：

当您查看IEEE-754 binary32 的位模式时

然后您会看到有 2 ³² 个可能的位组合。所有这些都可能代表一个浮点数。但是，从这些组合中，有一些具有特殊的含义。这些是指数由11111111 给出的组合。这些组合中的任何一个都代表NaN 或Inf。总共有 2 ^{32 − 8} = 2 ²⁴ 个这样的组合。此外，由于符号位，数字零表示为-0 和+0。所以简而言之，binary32 浮点数的总数由下式给出：

232 - 224 - 1 = 4 278 190 079

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图片取自Wikipedia

【讨论】：

我不明白这个答案的“2^(32-24) = 2^26”位：2^(32-24) 不等于 2^26。有 2^24 位模式表示无穷大或 NaN（或进一步细分，有 2 个无穷大、2^23 - 2 个信号 NaN 位模式和 2^23 个安静 NaN 位模式）。

@MarkDickinson 是的……那是大脑疲劳的时刻；-)。我现在已经更新了答案。

【参考方案3】：

您在这里问了两个问题。请注意，“可以编码多少个不同的值”与最小值和最大值之间存在差异。

值的数量很容易计算。在 32 位中，您可以有 2^32 或 4,294,967,296 个值。

“但是”，我听到你说，“10^38 大于 2^32！”。是的，它是，这是因为浮点编码实际上无法编码其范围内的所有整数。