如果求和是通过循环完成的，则以下程序会找到正确的答案，但如果通过 GP 的公式完成则不正确。为啥？

Posted 2023-02-16

【中文标题】如果求和是通过循环完成的，则以下程序会找到正确的答案，但如果通过 GP 的公式完成则不正确。为啥？

【英文标题】：The following program finds the correct answer if summation is done via loop but incorrect if done via formula for GP. Why?如果求和是通过循环完成的，则以下程序会找到正确的答案，但如果通过 GP 的公式完成则不正确。为什么？

【发布时间】：2013-07-28 18:10:31

【问题描述】：

以下代码是我解决问题的方法：http://codeforces.com/contest/327/problem/C

我通过循环执行求和的第一部分（因此时间复杂度很差）给出了正确的答案。

我使用几何级数公式的第二部分即使我认为使用的公式是正确的，但对于很多测试用例都返回了错误的答案。

我做错了什么？ （编辑：- 发现问题。在最后解释）

#include<stdio.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<iostream>
typedef long long int lli;

using namespace std;

lli power(lli base, lli exponent)

    lli result=1;
    while(exponent)
    
        if(exponent & 1)
            result=(result*base)%1000000007;
        exponent>>=1;
        base=(base*base)%1000000007;
    
    return result%1000000007;

int main()

    string n;
    cin>>n;
    lli k;
    cin>>k;
    vector<int> position;
    for(int i=0;i<n.length();i++)
        if(n[i]=='5' || n[i]=='0')
            position.push_back(i);
    lli m=0;
    for(int i=0;i<position.size();i++)
        m=(m+power(2,position[i]))%1000000007;
    lli answer=0;
    lli l=n.length();

// part1
// the following is finding summation via loop
    for(int i=1;i<=k;i++)
        answer=(answer + (power(2,l*(k-i))*m)%1000000007)%1000000007;
    cout<<answer<<endl;

//part2
// the following finds the sum by using gp formula (1st_term*(ratio^no_of_terms-1)/(ratio-1))    
    answer=1;
    answer=((power(power(2,l),k) - 1)/(power(2,l)-1))%1000000007;
    answer*=m%1000000007;
    cout<<answer<<endl;
    return 0;

几个样本输入和输出

输入1：

4555000 3

输出1：

2080638 2080638

输入2：

4555000 8

输出2：

907276560 529323732

编辑：- 我已经找到了问题所在。未定义除法上的模数。幂函数返回幂模 K，其中 K=1000000007。让我们将这个新值称为缩减值。我正在划分两个减少的值。因此，最终答案也少于实际答案。现在我已经确定了他的问题，我仍然不知道如何克服这个问题。

Edit2:- 将第二部分更改为以下作品（在网上找到）。我不知道为什么。

answer=(power(power(2,l),k) - 1);
answer=(answer*power((power(2,l)-1),K-2))%K;
answer=(answer*m)%K;

【参考方案1】：

有趣；感谢您提出问题并发布修复程序。仅供参考，这是您在做什么的解释：

您可能会看到您已将除以 x（即乘以 1/x）替换为乘以 x^(K-2)。所以问题是：为什么是 K-2？

答案基本上是fermat's little theorem，它表示当你对素数 K 进行模乘运算时（而 100000007 是素数），那么 x^(K-1) = 1。如果你将两边除以x 然后你得到 x^(K-2) = 1/x。

我希望您能看到这如何解释您的代码为何起作用 - 一方面您有 K-2，另一方面是 x。所以提高到 K-2 的幂等于取模 K 的倒数。

例如，考虑以 5 为模（即素数）然后将 9 除以 3。

9/3 = 3 和 3%5 = 3 这是我们想要的，但除法可能是个问题：

(9%5)/3 = 4/3 = ?这是什么意思模5？ （这是你的错误）

所以让我们使用 K-2 技巧：9*(3^(5-2)) = 9*(3^3) = 9*27 = 243 和 243%5 = 3

或者，(9%5) * (3^(5-2)) = 4*(3^3) = 4*27 = 108 和 108%5 = 3

【讨论】：

感谢您的详细解释。 :)

【参考方案2】：

在您的long long int 表达式中，您需要确保您的文字常量也是long long int（目前您使用int 作为文字常量）。所以例如改变：

    base=(base*base)%1000000007;

到：

    base=(base*base)%1000000007LL;

---

更好的是，您不应该在代码中乱扔硬编码的常量，而只需定义一个常量并使用它，例如

const long long int K = 1000000007LL;

....

base=(base*base)%K;

【讨论】：

感谢您的信息。 :) 但是，问题仍然存在。这是仍然提供相同输出的新版本：- ideone.com/SNQSCH

另外，如果这是问题所在，我相信它应该在两个部分都给出错误的答案。

【参考方案3】：

模运算符 % 在 *= 运算符之前

【讨论】：

感谢您的信息。但问题仍然存在。这是更新版本ideone.com/SNQSCH